«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении $1:2$.
Пусть $m\gt1$ — натуральное число, $s$ — наибольшее целое число, для которого $2^s\le m$. Докажите, что
На квадратный лист бумаги со стороной $a$ посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Докажите, что если каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы, то суммарная площадь клякс не больше $a$.
Из вершины треугольника проведён отрезок в точку на противоположной стороне, делящийся вписанной окружностью на три равные части. Может ли этот отрезок оказаться
треугольника?
Докажите, что
Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и записать вместо них числа $a+\dfrac b2$ и $b-\dfrac a2$. Докажите, что после нескольких таких операций нельзя получить исходный набор чисел.
В треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на стороне $AB$, точка $N$ — на стороне $BC$, $O$ — точка пересечения отрезков $CM$ и $AN$. Известно, что $AM+AN=CM+CN$. Докажите, что…
Назовём словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова будем считать синонимами, если одно можно получить из другого несколькими операциями следующего вида: из слова вычёркивается несколько подряд идущих цифр, сумма которых чётна, и на их место вписываются те же цифры, но в…
Докажите, что если уравнение $ax^2+(c-b)x+(e-d)=0$ имеет корень, больший 1, то уравнение $$ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 $$ имеет хотя бы один корень.
Для каких $k$ можно расположить на окружности
дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с $k$ другими?
