Задачник «Кванта» / Квант. — 1989. — № 12 / 1989 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 12. — С. 23—31.

Задачи М1196‍—‍М1200 предлагались в этом году на Ленинградской городской математической олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М1196‍—‍М1200; Ф1203‍—‍Ф1207 Задачи М1196—М1200; Ф1203—Ф1207 // Квант. — 1989. — № 12. — С. 23—24.

Задача М1196
Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$‍‍ и $b$‍‍ и записать вместо них числа $a+\dfrac b2$‍‍ и $b-\dfrac a2$‍.‍ Докажите, что после нескольких таких операций нельзя получить исходный набор чисел.
Задача М1197
В треугольнике $ABC$‍‍ точка $M$‍‍ лежит на стороне $AB$‍,‍ точка $N$‍‍ — на стороне $BC$‍,‍ $O$‍‍ — точка пересечения отрезков $CM$‍‍ и $AN$‍.‍ Известно, что $AM+AN=CM+CN$‍.‍ Докажите, что…
Задача М1198
Назовём словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова будем считать синонимами, если одно можно получить из другого несколькими операциями следующего вида: из слова вычёркивается несколько подряд идущих цифр, сумма которых чётна, и на их место вписываются те же цифры, но в…
Задача М1199
Докажите, что если уравнение $ax^2+(c-b)x+(e-d)=0$‍‍ имеет корень, больший 1, то уравнение $$ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 $$ имеет хотя бы один корень.
Задача М1200
Для каких $k$‍‍ можно расположить на окружности
1. 10;
2. 100;
3. $n$‍‍
дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с $k$‍‍ другими?
Задача Ф1203
Текст задачи готовится
Задача Ф1204
Текст задачи готовится
Задача Ф1205
Текст задачи готовится
Задача Ф1206
Текст задачи готовится
Задача Ф1207
Текст задачи готовится

Решения задач М1171‍—‍М1175; Ф1183‍—‍Ф1187 Решения задач М1171—М1175; Ф1183—Ф1187 // Квант. — 1989. — № 12. — С. 24—31.

Задача М1171
Обозначим сумму $1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n$‍‍ через $h_n$‍.‍ Докажите (для каждого натурального $n$‍)‍ неравенство $$ \dfrac1{h_1^2}+\dfrac1{2h_2^2}+\dfrac1{3h_3^2}+\ldots+\dfrac1{nh_n^2}\lt 2. $$
Задача М1172
Какой наибольший угол могут составлять между собой отрезки $OA$‍‍ и $OB$‍,‍ выходящие из начала $O$‍‍ прямоугольной системы координат в пространстве, если точка $A$‍‍ имеет координаты $(x, y, z)$‍,‍ а точка $B$‍‍ — координаты…
Задача М1173
Через одну точку внутри треугольника площади $S$‍‍ проведены три прямые так, что каждую сторону треугольника пересекает две из них (см. рисунок). Докажите, что для площадей $S_1$‍,‍ $S_2$‍,‍ $S_3$‍‍ трёх образовавшихся при этом треугольников выполнено…
Задача М1174
Последовательность целых чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $a_3$‍,‍ $\ldots$‍‍ задаётся условиями $a_1=1$‍,‍ $a_2=12$‍,‍ $a_3=20$‍,‍ $$ a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n\quad(n=1,\ 2,\ \ldots). $$ Докажите, что для любого номера $n$‍‍ число $1+4a_n a_{n+1}$‍‍ — квадрат целого…
Задача М1175
При каких натуральных $n$‍‍ верно следующее утверждение: как бы ни были разложены на плоскости несколько непересекающихся правильных $n$‍‍-угольников, один из них можно выдвинуть по некоторому направлению, не задевая остальных? (Поворачивать $n$‍‍-угольник…
Задача Ф1183
Текст задачи готовится
Задача Ф1184
Текст задачи готовится
Задача Ф1185
Текст задачи готовится
Задача Ф1186
Текст задачи готовится
Задача Ф1187
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 12. — С. 23—31.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1989
Номер: 12
Страницы: 23—31
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 12. — С. 23‍—‍31.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1989/12/zadachnik_kvanta-fcb9fcaf/
Полный текст: опубликован 06.02.2026

Задачник «Кванта» (1989, № 12)Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 12. — С. 23‍—‍31.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 12. — С. 23—31.

Задачи М1196‍—‍М1200; Ф1203‍—‍Ф1207 Задачи М1196—М1200; Ф1203—Ф1207 // Квант. — 1989. — № 12. — С. 23—24.

Решения задач М1171‍—‍М1175; Ф1183‍—‍Ф1187 Решения задач М1171—М1175; Ф1183—Ф1187 // Квант. — 1989. — № 12. — С. 24—31.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1989. — № 12. — С. 23—31.