«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$ — некоторая последовательность точек на плоскости. Начав с некоторой точки $T_0$, построим последовательность $T_1$, $T_2$, $T_3$, $\ldots$, где…
Известно, что все рёбра многогранника $M$ равны между собой и касаются некоторого шара.
Докажите (для любых чисел $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$) неравенство $$\begin{gather*} ax+by+cz+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}\ge\\ \ge\frac23(a+b+c)(x+y+z). \end{gather*}$$
Последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ такова, что для любых натуральных $m$ и $n$ $$ |x_{m+n}-x_m-x_n|\lt \dfrac1{m+n}. $$ Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.
Текст задачи готовится
Докажите неравенство $a^{2}pq+b^{2}qr+c^{2}rp \le 0$, где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника, $p+q+r=0$.
Сколько существует перестановок чисел 1, 2, $\ldots$, $n$, в которых для любого числа $i$, стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел $i-1$ и $i+1$ находится левее $i$?
В стране 1989 городов и 4000 дорог (каждая дорога соединяет два города). Докажите, что можно выбрать кольцевой маршрут, проходящий не более чем через 20 городов.
Пусть $M$ — точка, лежащая внутри прямоугольника $ABCD$, $S$ — его площадь. Докажите неравенство $$ S\le AM\cdot CM+BM\cdot DM. $$
