«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Трапеция описана около окружности. Докажите, что хотя бы одна из её диагоналей образует с основанием угол не более $45^\circ$.
Таблица $m\times n$ заполнена $mn$ числами так, что в каждой строке и в каждом столбце эти числа составляют арифметическую прогрессию. Сумма четырёх чисел, стоящих в углах таблицы, равна $s$. Чему равна сумма всех чисел в таблице?
Масса каждой из 101 гирек, расположенных по окружности, — натуральное число, а их общая масса равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну или несколько гирек, расположенных подряд, с общей массой 200 г.
Пусть $a_1$, $a_2$,$\ldots$, $a_n$ — неотрицательные числа. Какое число больше: $$ \sqrt[\scriptstyle1988]{a_1^{1988}+a_2^{1988}+\ldots+a_n^{1988}}\quad\text{или}\quad \sqrt[\scriptstyle1989]{a_1^{1989}+a_2^{1989}+\ldots+a_n^{1989}}~? $$
Из точки $P$ проведены две касательные $PB$ и $PC$ к окружности, причём $\angle BPC \gt 90^{\circ}$. На меньшей дуге $BC$ взята точка $A$. Докажите, что площадь треугольника, отсекаемого от угла $BPC$ касательной к…
Текст задачи готовится
Какое наибольшее число узлов клетчатой бумаги может содержать прямоугольник площадью:
стороны которого идут по линиям сетки?
(Считаются узлы, лежащие внутри и на границе прямоугольника.…
Дан произвольный треугольник. Докажите, что
Назовём $k$-звездой фигуру на плоскости, состоящую из $k$ лучей с общим началом, разбивающих плоскость на $k$ равных углов (по $360^\circ/k$). При каких $k\gt 2$ верно следующее утверждение: для любых $k$ точек…
