«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекают касательную, проведённую в точке $B$, соответственно в точках $M$ и $N$. В…
На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа $a$ и $b$, то можно написать число $ab+a+b$. Можно ли этим способом получить
В стране 21 город. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждая из которых обслуживает 10 беспосадочных авиалиний, связывающих попарно некоторые пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолёты нескольких компаний). Каждые два города связаны по…
Докажите, что для любого тетраэдра имеет место неравенство $$ r\lt\dfrac{ab}{2(a+b)}, $$ где $a$, $b$ — длины двух скрещивающихся рёбер, а $r$ — радиус вписанного шара.
Текст задачи готовится
Назовём натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разбить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны.
Вырезанный из бумаги выпуклый многоугольник·10 раз складывают (перегибая по некоторым прямым) и затем разрезают по прямой. Какое наибольшее число кусков может получиться?
На окружности в $n$ точках расставлены числа 0, 1, 2. Затем одновременно во всех точках производится следующее преобразование: каждое число 2 заменяется на 0, а затем к следующему за ним по часовой стрелке числу прибавляется 1. Пусть вначале количество двоек равнялось…
Пусть $a$, $b$, $c$ — неотрицательные числа.
На плоскости задана окружность с центром $O$ и две точки $A$, $B$ (отличные от $O$) такие, что прямая $AB$ проходит через точку $O$. Постройте хорду $MN$ этой окружности, которая видна из точки…
