«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Каждая из трёх прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Докажите, что если $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника, то $$2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\right)\ge\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+3.$$
В выпуклом $n$-угольнике ($n\gt4$) никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наибольшее число диагоналей в нём можно провести так, чтобы все части, на которые они разобьют $n$-угольник, оказались треугольниками?
В одном старом задачнике по геометрии была помещена такая задача: вычислить длину стороны правильного треугольника, вписанного в параболу $y=x^2$. В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. Верно ли такое указание? Может ли длина…
Для данного натурального $n\gt1$ выпишем наибольшие общие делители всевозможных пар различных чисел от 1 до $n$. Докажите, что
Текст задачи готовится
С числом разрешается производить две операции: «увеличить в 2 раза» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить:
Рассмотрим треугольник $ABC$, точку $M$ в плоскости этого треугольника и проекции $A_1$, $B_1$, $C_1$ точки $M$ на высоты, проведённые из вершин $A$, $B$, $C$ соответственно.…
Докажите, что если числа $p$, $q$, $r$ рациональны и $pq+qr+pr=1$, то $(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)$ — квадрат рационального числа.
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площадью $S$ диагонали пересекаются в точке $O$. Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $AOB$, $BOC$,…
Докажите, что
