«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
С числом разрешается производить две операции: «увеличить в 2 раза» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить:
Рассмотрим треугольник $ABC$, точку $M$ в плоскости этого треугольника и проекции $A_1$, $B_1$, $C_1$ точки $M$ на высоты, проведённые из вершин $A$, $B$, $C$ соответственно.…
Докажите, что если числа $p$, $q$, $r$ рациональны и $pq+qr+pr=1$, то $(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)$ — квадрат рационального числа.
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площадью $S$ диагонали пересекаются в точке $O$. Пусть $K$, $L$, $M$, $N$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $AOB$, $BOC$,…
Докажите, что
Текст задачи готовится
Шесть точек расположены на плоскости так, что все попарные расстояния между ними не больше 1. Докажите, что из них можно выбрать три точки, попарные расстояния между которыми строго меньше 1.
Докажите, что для неотрицательных чисел $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих условию $x^2+y^2+z^2=1$, выполнено неравенство $$ \dfrac x{1-x^2}+\dfrac y{1-y^2}+\dfrac z{1-z^2}\ge\dfrac{3\sqrt3}2. $$
Дан угол $AOB$ ($A$ и $B$ — точки на сторонах угла). Постройте прямую $l$, проходящую через вершину $O$ так, чтобы площади треугольников $AOC$ и $BOD$, где $C$ и $D$ —…
В некотором городе разрешены только парные обмены квартирами (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не участвуют в других обменах). Докажите, что любой сложный обмен квартирами нескольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагается, что и до, и после обмена…
