«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В левый нижний угол шахматной доски $8\times8$ клеток поставлено в форме квадрата $3\times3$ девять фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими такими ходами собрать все фишки в…
Докажите, что из $n$ четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого $n$-угольника диагоналями, не более $n/2$ могут оказаться описанными около окружности. Приведите пример 8-угольника, у которого таких четырёхугольников 4.
Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, $\ldots$, где каждое число равно сумме двух предыдущих, при $m\gt3$ встретится не менее 4 и не более 5 $m$-значных чисел.
Докажите, что шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или на одной плоскости.
На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превосходящих $120^\circ$.
Текст задачи готовится
