«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что число $1985!!+1986!!$ делится на $1987$. (Через $n!!$ обозначается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $n$ и имеющих ту же чётность, т. е. $n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdot\ldots$)
Среди $n$ членов арифметической прогрессии удалось выбрать $k$ членов, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Докажите, что $n\ge2^{k-1}$.
Для выпуклого многогранника $M$ обозначим через $S(M)$ сумму площадей его граней, через $P(M)$ — сумму произведений длин всех его рёбер на соответствующие им внешние углы многогранника (внешний угол при данном ребре — это угол между перпендикулярами к…
Текст задачи готовится
Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
Докажите, что треугольники с длинами сторон $a$, $b$, $c$ и $a_1$, $b_1$, $c_1$ подобны, если и только если $$ \sqrt{aa_1}+\sqrt{bb_1}+\sqrt{cc_1}=\sqrt{(a_1+b_1+c_1)(a+b+c)}.$$
Лестница состоит из $2n+1$ ступеней. На $n$ нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди таскают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первую свободную ступеньку, а второй — переложить камень на одну ступеньку вниз, если она свободна. Цель…
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки $C$, $K$ и…
