Текст статьи Гиндикин С. Г. Загадка Рамануджана (к столетию со дня рождения) // Квант. — 1987. — № 10. — С. 14—20, 41.
Рамануджан любил говорить, что формулы ему внушает во сне богиня Намаккаль. Интересно отметить, что действительно он часто, вставая по утрам с кровати, тут же записывал готовые формулы.
Сешу Айар и Рамачандра Рао
Письмо в Кембридж
В самом начале 1913 года профессор Кембриджского университета Г. Г. Харди получил письмо из далёкого Мадраса. В свои 36 лет Харди был уже одним из крупнейших специалистов по анализу и теории чисел, автором ряда великолепных математических работ. Отправитель же письма, Сриниваза Рамануджан, работал клерком в бухгалтерии почтового ведомства Мадраса с более чем скромным окладом в 20 фунтов в год. Он сообщал о себе, что не имеет университетского образования и после окончания школы самостоятельно занимается математикой, не следуя принятой системе, а «избрав свою дорогу». Математическое содержание письма выглядит достаточно неуклюже — вполне можно принять автора за самоуверенного любителя.
Само по себе такое письмо не могло произвести на Харди сильного впечатления. Но к письму было приложено некоторое количество формул, которые предлагалось опубликовать, если они интересны, чего сам автор не мог сделать из-за своей бедности. Просмотр формул насторожил Харди: он понял, что имеет дело с незаурядным явлением. Он заинтересованно отвечает Рамануджану, между ними завязывается интенсивная переписка (сегодня кажется удивительным, как быстро шли тогда письма между Индией и Англией). Постепенно у Харди собирается около 120 разнообразных формул.
Вставка 1.
Пример бесконечной суммы, вычисленной Рамануджаном
$$
1-5\left(\dfrac12\right)^3+9\left(\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)^3-
13\left(\dfrac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)^3+\ldots=\dfrac2\pi.
$$
Эта удивительная формула — одна из приложенных Рамануджаном к первому письму
Харди. Каким образом сумма знакочередующегося ряда
Формулы Рамануджана касались в основном соотношений между бесконечными радикалами (вставка 2), бесконечными рядами, произведениями и цепными дробями (вставки 1, 3, 4), тождеств между интегралами. Прежде всего было ясно, что они далеко выходят за пределы элементарной математики. Далее возникает цепь вопросов: известны ли они; если да, то самостоятельно ли получены автором письма; если нет, то верны ли они? Вскоре Харди понимает, что ситуация парадоксальна: он, несомненно, выдающийся специалист по современному анализу, имеет дело с россыпью неизвестных ему формул!
Вставка 2.
Бесконечно повторяющиеся радикалы
$$
\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\ldots}}}}=3.
$$
Эту красивую формулу Рамануджан получил ещё в школьные годы следующим
образом: он написал последовательность очевидных равенств
$$
n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}}=\ldots,
$$
а затем подставил
Большое впечатление на Харди произвели формулы с бесконечными рядами (см. вставку 1). После их изучения он приходит к выводу:
«...в распоряжении Рамануджана должны быть какие-то очень общие теоремы, которые он от меня скрывает».
Вставка 3.
Числовое тождество с бесконечной суммой и цепной дробью
$$
1+\dfrac1{1\cdot3}+\dfrac1{1\cdot3\cdot5}+\dfrac1{1\cdot3\cdot5\cdot7}+
\dfrac1{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9}+\ldots+
\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac2{1+\dfrac3{1+\dfrac4{1+{}\raisebox{-12pt}{$\ddots$}
\vphantom{\dfrac00}}}}}}=\sqrt{\dfrac{\pi e}2}.
$$
Это, возможно, самая красивая формула Рамануджана, истинное произведение
математического искусства. Она неожиданно связывает бесконечный ряд и бесконечную цепную дробь. Удивительно, ни ряд, ни цепная дробь не выражаются
через известные постоянные
Но особо удивили Харди соотношения с бесконечными цепными дробями (одно из более поздних соотношений этого типа показано на вставке 3):
«...эти соотношения поставили меня полностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточно бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли быть написаны только математиком самого высшего класса».
Чудо из Кумбаконама
Как же сложился математик, который так удивил Харди? Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 декабря 1887 года на юге Индии в селении Эрод. Его детство в основном протекало в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадраса), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Рамануджан принадлежал к касте браминов, но богатство уже давно не было уделом его родственников. Его родители, а мать особенно, были глубоко религиозны. Рамануджан получил воспитание в традициях касты. Детство, проведённое в городе, где каждый камень связан с древней религией, в окружении людей, постоянно ощущающих свою принадлежность к высшей касте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана.
С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает начальную школу. Он начинает проявлять незаурядные способности, получает стипендию, обеспечивающую обучение в средней школе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса даёт ему двухтомное руководство по тригонометрии Лони. Вскоре Рамануджан изучил тригонометрию, и студент имел возможность пользоваться его консультацией в решении задач. К этому периоду относятся первые рассказы и легенды. Утверждается, что он сам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинусе» и был очень расстроен, найдя эту формулу во втором томе Лони.
«Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в других науках, следует искать присущую ей «высшую истину», расспрашивает учителей. Старшие дают маловразумительные ссылки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами.
«Синопсис элементарных результатов чистой и прикладной математики»
Это двухтомное руководство английского математика Карра, написанное в 1880—1886 годах, попало к Рамануджану в 1903 году — ему было тогда 16 лет. Эта книга сыграла огромную роль в формировании Рамануджана. В ней было собрано 6165 теорем и формул, почти без доказательств, с минимальными пояснениями. В основном книга посвящена алгебре, тригонометрии, анализу, аналитической геометрии.
Книга Карра стимулировала мальчика к самостоятельному выводу формул. Об этом говорят те, кто знал Рамануджана в эти годы. Постепенно меняется
область его основных интересов: магические квадраты, потом квадратура круга
(он находит
Книга Карра оказалась достаточно удачной для того, чтобы сформировать математический мир Рамануджана. Но ориентировка на эту книгу имела и другие последствия. Поскольку книга не содержала доказательств, а в лучшем случае — наводящие соображения, у Рамануджана складывается своеобразный метод установления математической истины. К тому же он лишён в Индии подходящих руководств для того, чтобы проводить строгие доказательства.
«Его понимание сущности математического доказательства было более чем туманным; он пришёл ко всем своим результатам, как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным, при помощи странной смеси интуитивных догадок, индуктивных соображений и логических рассуждений...»
Математическая судьба Рамануджана фактически полностью решилась в эти годы — направление научных поисков, способ думать он уже никогда не менял. Здесь можно выразить сожаление, что Рамануджан формировался в тяжёлых условиях. В нормальных условиях он, несомненно, стал бы математиком с лучшей профессиональной подготовкой, но можно ли быть уверенным, что он был бы столь же уникален? Смог бы Рамануджан увидеть так много, если бы с детства был обучен правилам поведения в математике и доводил бы свои результаты до публикаций со строгими доказательствами, строил бы свой математический мир на базе всего достигнутого человечеством, а не на сравнительно небольшом числе фактов?
От чисел к формулам
В формировании математического мира Рамануджана было важно, что начальный
запас математических фактов (в основном почерпнутый из книги Карра)
объединился у него с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Его школьный товарищ вспоминал, что Рамануджан знал огромное число знаков в разложениях
Рамануджан стремительно пополняет запас фактов, почерпнутый у Карра. Он при этом с удивительной скоростью переоткрывает результаты Эйлера, Гаусса, Якоби. Так, некогда юный Гаусс в Брауншвейге, лишённый литературы, реконструировал в короткий срок то, на что у его великих предшественников ушли десятилетия. Можно только удивляться, что реконструкции математики с такими скоростями возможны.
Постепенно коллекция наблюдений над конкретными числами уходит у Рамануджана на второй план перед миром формул. Формулы для него — не вспомогательное средство для доказательств или вычислений, но представляют самостоятельную цель. Внутренняя красота формулы имеет для Рамануджана бесконечную ценность. Его формулы можно рассматривать как прекрасные картины.
Выбор профессии
В 1904 году Рамануджан поступает в Мадрасский университет, делает первые успехи не только в математике, но и в английском языке. Однако математика начинает занимать его целиком, и это не замедлило сказаться. Он не кончает даже первого курса, странствует с другом, делает попытку вернуться в университет, а затем закончить его экстерном (1907 год). Но всё безуспешно. В 1909 году он женится; его жене девять лет, и она доживёт до наших дней, трогательно сохраняя память о великом супруге. Рамануджан вынужден думать о средствах на жизнь, но он не может найти подходящего занятия. В 1910 году он показывает свои математические результаты Рамасвари Айару, основателю Индийского математического общества, затем Сешу Айару, преподавателю Кумбаконамского колледжа, и Рамачандра Рао, крупному чиновнику, получившему математическое образование; позднее они стали биографами Рамануджана.
Рао помогает ему из своих средств, а затем устраивает клерком в почтовое управление. В 1911 году появляется в печати сообщение Сешу Айара о результатах Рамануджана, а затем и его собственная статья. В судьбе Рамануждана начинают принимать участие влиятельные английские чиновники; с 1 мая 1913 года на два года он обеспечен специальной стипендией в 75?тиызжрупий (5?тиызжфунтов) в месяц. Этого хватает на скромную жизнь, и Рамануджан оставляет карьеру клерка. Он становится «профессиональным математиком».
Итак, Рамануджан встретил среди окружающих определённое признание, но не понимание. Мы помним, что в начале 1913 года он пишет Харди. Чего он ожидал от Харди? Найти, наконец, человека, способного понять и оценить его результаты, помочь и направить его дальнейшие исследования? Скорее повод был более прозаическим: от внешнего мира ему требовались не слава и признание, но обеспечение возможности существовать.
Вставка 4.
Тождество Роджерса—Рамануджана. Это тождество
$$
\begin{gather*}
1+\dfrac x{1-x}+\dfrac{x^4}{(1-x)(1-x^2)}+\dfrac{x^9}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}+
\ldots=\\
=\dfrac1{(1-x)(1-x^6)(1-x^{11})(1-x^{16})\ldots\cdot
(1-x^4)(1-x^9)(1-x^{14})(1-x^{19})\ldots}
\end{gather*}
$$
Рамануджан нашёл в 1911 году, но не сумел его доказать. Не сумел его доказать и Харди. В 1917 году, просматривая журнальную литературу (что
он делал довольно редко), Рамануджан наткнулся на оставшуюся незамеченной
статью английского математика Роджерса 1894 года, где эта формула была
доказана. Оказалось, далее, что это тождество тесно связано с число
Надо сказать, что в научном плане адресат был выбран исключительно удачно: трудно было бы найти другого математика в мире, который смог бы так быстро и эффективно сориентироваться в результатах Рамануджана. Очень скоро Харди понимает, что от него требуется не оценка результатов безвестного любителя или младшего коллеги, но спасение огромного дарования. Одновременно его не оставляет мысль, что Рамануджан сообщает лишь немногое из того, что знает, что он обладает очень общими результатами, приводя лишь частные иллюстрации. Но главное — он не может реконструировать метод Рамануджана, и ему не терпится узнать, каким путём двигался его удивительный корреспондент. Неожиданно Рамануджан твёрдо отказывается описывать свой метод. В письме от 27 февраля 1913 года:
«...Вы просите меня сообщить мои методы доказательств... Вот, что я хочу Вам сказать: проверьте мои результаты, и если они совпадают с Вашими, то Вы должны, по крайней мере, согласиться с тем, что в моих основных рассуждениях имеется какое-то зерно истины».
Вставка 5.
Теорема Харди—Рамануджана. Эта теорема даёт оценку числа
Харди подозревает, что Рамануджан боится, что его методами могут воспользоваться, пытается рассеять опасения, но 17 апреля получает ответ:
«Ваше последнее письмо причинило мне боль... Я нисколько не опасаюсь того, что мои методы будут использованы другими. Напротив, я работаю моими методами 8 лет и не нашёл никого, кто бы понимал или оценил их. Как я уже писал в моём последнем письме, я нашёл в Вас внимательного и понимающего друга и готов передать в Ваше полное распоряжение те немногие результаты, которыми я располагаю. Только в силу новизны моих методов я не решаюсь даже сейчас сообщить Вам мой путь вывода тех формул, которые я сообщил Вам в моих предыдущих письмах...».
Для Харди не было сомнений: для Рамануджана необходимы контакты с настоящими математиками. Обеспечить в Индии это невозможно, и ему необходимо срочно перебраться в Англию. Удалось договориться о стипендии в Кембридже. Однако предстояло убедить в необходимости поездки самого Рамануджана, которого нынешнее положение вполне устраивало. К тому же против поездки категорически возражала мать, согласие которой было для сына обязательным. Друзья пытаются сформировать общественное мнение, активно действует кембриджский математик Невил, в начале 1914 года посетивший Мадрас. Он обращается к ректору университета за поддержкой, но безуспешно.
То, что было не под силу учёным, легко осилила... богиня Намаккаль (согласно легенде, из её уст во сне Рамануджан узнавал новые формулы). Мать увидела во сне сына, сидящего в большом зале в окружении европейцев, и богиня повелела не противиться отъезду. 17 марта 1914 года Рамануджан отбыл в Англию. Он будет два года получать стипендию по 250 фунтов стерлингов в год. Из них 50 фунтов будет получать мать. По приезде вскоре стипендия была ещё увеличена на 60 фунтов.
В Кембридже
Рамануджану 27 лет. Лучшие годы для становления математика прожиты в Индии без контакта с серьёзными учёными, без доступа к математической литературе. В разных странах, в разные времена человек ощущает себя сложившимся в разном возрасте. Для Индии начала века, с очень низкой продолжительностью жизни, 27 лет — возраст зрелого человека. Вдова Рамануджана вспоминала, что он любил составлять гороскопы, и его собственный гороскоп предсказывал ему смерть до достижения 35-летнего возраста.
Харди предстояло принять очень ответственное решение: надо ли прервать занятия Рамануджана с тем, чтобы он смог освоить современную математику? Харди принял, по-видимому, единственно возможное решение: не менять стиля и направлений исследования Рамануджана, лишь по возможности корректируя их с учётом современной математики и стараясь объяснять новые вещи, обращая внимание на подходящую литературу. Харди писал:
«Его ум уже сложился, и он никогда не стал «ортодоксальным» математиком. Однако он ещё был способен учить новые вещи и делал это весьма хорошо. Было невозможно обучать его систематически, но мало-помалу он воспринимал новые точки зрения. В частности, он усвоил, что такое доказательство, и его поздние статьи, при том что в некоторых отношениях они оставались необычными и индивидуальными, воспринимались как работы хорошо информированного математика. Однако его методы оставались по существу прежними».
Работает Рамануджан очень интенсивно и плодотворно. У него много общих интересов с Харди. Фантастическая интуиция Рамануджана, объединившись с рафинированной техникой Харди, даёт замечательные плоды. К Рамануджану приходит признание: в 1918 году он становится профессором университета в Кембридже; его выбирают в Королевское общество (английскую академию наук). Никогда прежде индус не удостаивался таких почестей.
Жилось Рамануджану непросто. Он строго следовал всем религиозным ограничениям, как и обещал родителям. В частности, он был вегетарианцем и был вынужден готовить себе сам. Он отказывался нарушать правила, даже когда тяжело заболел в 1917 году. Вероятно, нерегулярность в питании ускорила болезнь (так считал и сам Рамануджан, как вспоминала вдова). Оставшиеся два года в Англии Рамануджан, провёл в больницах и санаториях, вынужденный ослабить интенсивность занятий математикой.
Непросто было вписаться Рамануджану в кембриджскую жизнь, полную чуждых условностей и традиций. Природная вежливость, стремление не быть источником для дискомфорта окружающим, так присущие индийской культуре, помогали Рамануджану по крайней мере внешне приспособиться к университетской жизни.
Харди очень много делал для Рамануджана: следил за его занятиями, стремился восполнить пробелы в его образовании, заботился о его положении в обществе и быте. Рамануджан до последней минуты был полон трогательной признательности и любви к нему...
Возвращение и смерть
Заболев, Рамануджан начинает думать о возвращении на родину. Лишь к началу 1919 года его здоровье улучшилось настолько, чтобы совершить далёкую поездку по морю. Ему было готово место в Мадрасском университете — слава его достигла Индии. Рамануджан пишет ректору благодарственное письмо, извиняется за то, что последнее время болезнь не давала возможности работать достаточно интенсивно. Но он так и не смог приступить к работе в университете. Менее года ему удалось провести на родине. После трёх месяцев в Мадрасе Рамануджан перебрался в Кумбаконам. В январе 1920 года он посылает последнее письмо Харди, где сообщает о работе над новым классом тэта-тафункций. Ни врачи, ни родные не могут уговорить смертельно больного учёного прервать работу. 26 апреля 1920 года. Рамануджан умер. Ему ещё не исполнилось 33 года.
Память
Весть о смерти Рамануджана потрясла его друзей и в Индии, и в Англии. Они чувствовали свой долг разобраться в том удивительном явлении, кaким был Рамануджан. Харди пишет:
«Возможно, что великие дни формул окончились и Рамануджану следовало бы родиться на 100 лет раньше; но он был величайшим создателем формул своего времени».
Друзья и коллеги старались оценить место Рамануджана в современной математике. Они не сомневались в его удивительных способностях, фантастической красоте формул, но все сходились на том, что сам выбор сюжетов, которых настойчиво держался Рамануджан, не позволяет ему занять достойное место в истории математики.
Прошло более полувека, и сегодня мы отчётливо видим то, что не могли предвидеть Харди и его современники. Гений Рамануджана оказался созвучен не только прошлому, но и будущему математики. Арифметические формулы Рамануджана нередко оказывались ключевыми на новых этапах алгебраической теории чисел, и можно было только удивляться, как он смог увидеть их, не зная того, без чего их увидеть нельзя. А потом пришло возрождение интереса к конкретным явным формулам как внутри математики, так и в сфере её приложений. Современная математическая и теоретическая физика обращается порой к весьма абстрактным разделам математики, причём играют роль очень изысканные явные формулы. Вот два недавних примера, связанные с Рамануджаном.
Р. Бэкстер, прославившийся построением точно решаемых моделей статистической механики, при исследовании модели «жёсткого гексагона» неожиданно обнаружил, что постоянно имеет дело с тождествами Роджерса—Рамануджана (вставка 4) и Рамануджана.
Нобелевский лауреат С. Вайнберг недавно вспоминал, как, занимаясь в начале 70-х годов очень популярной сейчас теорией струн, он столкнулся с задачей об оценке функции разбиений
Красота формул Рамануджана даровала им способность возрождаться при самых необычных обстоятельствах.