«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи М991—М995 нам предложила редакция журнала «Математика» (НРБ).
В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и медиана $CK$. На стороне $AB$ выбраны точки $E$ и $F$ так, что $\angle ACE=\angle BCF$, и на лучи $CE$ и $CF$ опущены перпендикуляры…
Среди 90 выпускников одной математической гимназии у каждого не менее 10 друзей. Докажите, что любой выпускник может пригласить в гости трёх других так, что среди четырёх собравшихся у каждого будет не менее двух друзей.
При каком наибольшем значении $k$ неравенство $$ a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge k(ab+bc+ca)^2 $$ выполнено при всех значениях $a$, $b$ и $c$?
Функция $y=f(x)$ при всех $x$ определена, непрерывна и удовлетворяет условию $$ f(f(x))=f(x)+x. $$
Текст задачи готовится
Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каждой один раз). Докажите, что можно выбрать из них такие четыре команды $A$, $B$, $C$, $D$, что $A$ выиграла у $B$, $C$ и…
Последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ задаётся условиями $x_1=\dfrac12$, $x_{n+1}=x_n^2+x_n$ ($n=1$, 2, $\ldots$). Найдите целую часть числа $$ \dfrac1{x_1+1}+\dfrac1{x_2+1}+\ldots+\dfrac1{x_{100}+1}. $$
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE$. Докажите, что если $\angle BEA=45^\circ$, то и $\angle EHC=45^\circ$.
Двое играют в шахматы с часами. После того как оба сделали по 40 ходов, часы обоих показывали 2 часа 30 минут.
На «шахматной доске» размером $n\times n$ стоит 20 различных фигур. Известно, что каждая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей.
