«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Из вершины $A$ квадрата $ABCD$ проведены два луча, образующие между собой угол $45^\circ$. Один пересекает сторону $BC$ в точке $E$, диагональ $BD$ — в точке $P$, другой — сторону $CD$ в точке…
Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из многочленов $f(x)$ и $g(x)$ получить $x$, если:
Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два правильных треугольника со сторонами больше $\sqrt{2/3}$, не налегающих друг на друга?
Пусть $k$ и $n$ — натуральные числа, $k\le n$. Назовём набор $k$ положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ меньших 1 исключительным, если для любого разбиения $n=n_1+n_2+\ldots+n_k$…
Внутри выпуклого
с вершинами $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ взята точка $O$. Докажите, что среди $\dfrac{n(n-1)}{2}$ углов…
Текст задачи готовится
На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку $A$ и три — через точку $B$ (рис. 1). Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от $A$ и $B$, — вершины…
Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, $\ldots$, 23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.
Пусть $0\le i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_n$ — целые числа. Докажите, что количество нечётных коэффициентов у многочлена $$ (1+x)^{i_1}+(1+x)^{i_2}+\ldots+(1+x)^{i_n} $$ не меньше, чем у многочлена $(1+x)^{i_1}$.
В стране между некоторыми парами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более $\dfrac1{k-1}$ часть авиалиний таким образом, что среди любых $k$ городов найдутся два, не соединённые между собой авиалинией, если
Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа $n$, то число $n$ представляется в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.
