«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что для $n$ положительных чисел $a_1\ge a_2\ge a_3\ge\ldots\ge a_n$ выполнены неравенства:
Докажите, что:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты две точки $M$ и $N$. Три параллельные прямые, проходящие через точки $M$, $B$ и $N$, пересекают основание $AC$ в…
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — различные попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных $b$, что числа $b+a_1$, $b+a_2$, $\ldots$,…
Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен $x^4+x^3+x^2+x+12=0$?
Текст задачи готовится
В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и медиана $CK$. На стороне $AB$ выбраны точки $E$ и $F$ так, что $\angle ACE=\angle BCF$, и на лучи $CE$ и $CF$ опущены перпендикуляры…
Среди 90 выпускников одной математической гимназии у каждого не менее 10 друзей. Докажите, что любой выпускник может пригласить в гости трёх других так, что среди четырёх собравшихся у каждого будет не менее двух друзей.
При каком наибольшем значении $k$ неравенство $$ a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge k(ab+bc+ca)^2 $$ выполнено при всех значениях $a$, $b$ и $c$?
Функция $y=f(x)$ при всех $x$ определена, непрерывна и удовлетворяет условию $$ f(f(x))=f(x)+x. $$
