Задачник «Кванта» / Квант. — 1985. — № 8 / 1985 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 8. — С. 40—50.

Задачник по математике этого номера основан на задачах, предлагавшихся в апреле этого года на «Турнире городов».

Открыть в номере

Задачи М936‍—‍М940; Ф948‍—‍Ф952 Задачи М936—М940; Ф948—Ф952 // Квант. — 1985. — № 8. — С. 40—42.

Задача М936
Докажите, что за $3n+1$‍‍ взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить самый лёгкий и самый тяжёлый из $2n+2$‍‍ камней, если:
1. $n=3$‍;‍
2. $n$‍‍ — любое натуральное число.
Задача М937
Существует ли такая фигура $F$‍,‍ что ею нельзя накрыть полукруг радиуса $1$‍,‍ а двумя её экземплярами можно накрыть круг радиуса $1$‍,‍ если $F$‍:‍
1. произвольная фигура;
2. выпуклая…
Задача М938
Радиус круга с центром $O$‍‍ равномерно вращается, поворачиваясь за одну секунду на угол $\dfrac{360^\circ}n$‍‍ (где $n$‍‍ — натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение $OM_0$‍,‍ через секунду — положение $OM_1$‍,‍ ещё через 2…
Задача М939
В клетки таблицы $10\times10$‍‍ записывают каким-либо образом цифры 0, 1, $\ldots$‍,‍ 9 так, что каждая цифра встречается 10 раз.
1. Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и каждом столбце встречалось не более 4 различных цифр?
Задача М940
1. Квадрат разбит на прямоугольники. Назовём цепочкой такое множество этих прямоугольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытий (рис. 1). Докажите, что любые два прямоугольника входят в некоторую…
Задача Ф948
Текст задачи готовится
Задача Ф949
Текст задачи готовится
Задача Ф950
Текст задачи готовится
Задача Ф951
Текст задачи готовится
Задача Ф952
Текст задачи готовится

Решения задач М916‍—‍М920; Ф927‍—‍Ф932 Решения задач М916—М920; Ф927—Ф932 // Квант. — 1985. — № 8. — С. 43—50.

Задача Ф927
Текст задачи готовится
Задача М916
Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади треугольника.
Задача М917
1. Чему равна длина максимальной серии идущих подряд несчастливых билетов?
2. Сколько существует таких серий максимальной длины? (Считается, что номера билетов изменяются от 000000 до 999999 включительно; билет называется счастливым, если сумма первых трёх цифр…
Задача М918
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5.
Задача М919
1. Докажите равенство $$ \textstyle\int\limits_0^{\pi/4}\tg x\,dx+\int\limits_0^1\arctg x\,dx=\dfrac\pi4. $$
2. Докажите неравенство $$ \textstyle9\lt\int\limits_0^3\sqrt[\scriptstyle4~]{x^4+1}\,dx+ \int\limits_1^3\sqrt[\scriptstyle4~]{x^4-1}\,dx\lt9{,}0001. $$
Задача М920
1. Найдите хотя бы одно решение уравнения $$ x^3+y^3+z^3=x^2y^2z^2 $$ в натуральных числах.
2. Докажите, что уравнение $$ x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2 $$ имеет натуральное решение лишь при $n=1$‍‍ и $n=3$‍‍ и найдите все…
Задача Ф928
Текст задачи готовится
Задача Ф929
Текст задачи готовится
Задача Ф930
Текст задачи готовится
Задача Ф931
Текст задачи готовится
Задача Ф932
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 8. — С. 40—50.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1985
Номер: 8
Страницы: 40—50
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 8. — С. 40‍—‍50.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1985/8/zadachnik_kvanta-9ecfbd55/
Полный текст: опубликован 03.02.2026

Задачник «Кванта» (1985, № 8)Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 8. — С. 40‍—‍50.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 8. — С. 40—50.

Задачи М936‍—‍М940; Ф948‍—‍Ф952 Задачи М936—М940; Ф948—Ф952 // Квант. — 1985. — № 8. — С. 40—42.

Решения задач М916‍—‍М920; Ф927‍—‍Ф932 Решения задач М916—М920; Ф927—Ф932 // Квант. — 1985. — № 8. — С. 43—50.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 8. — С. 40—50.