«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны величины двух углов $\angle A=\alpha$ и $\angle B=\beta$, а его удвоенная площадь равна ${AB}\cdot{CD}+{BC}\cdot{AD}$. Найдите отношение длин всех его сторон $AB:BC:CD:DA$, если
Докажите, что уравнение $$ \sin^px+\cos^qx=1, $$ где $p$ и $q$ — положительные числа, имеет решение на интервале $0\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$ тогда и только тогда, когда $(p-2)(q-2)\lt0$ или $p=q=2$.
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Каждые две из $n$ точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой) соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник $ABC$ с вершинами в данных точках называется ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях $AB$,…
(Эволюция кляксы.) На белой плоскости расположена синяя фигура $K_0$. Из неё получается новая синяя фигура $K_1$ по следующему правилу, применяемому одновременно ко всем точкам $M$ плоскости: если не менее половины площади круга радиуса 1 с центром в точке…
Текст задачи готовится
Биссектрисы $AK$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что если $OK=OM$, то либо углы $A$ и $B$ треугольника равны, либо угол $C$ равен $60^\circ$.
Натуральный ряд 1, 2, 3, $\ldots$ разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на её разность.
Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с
числом сторон?
Для каждого натурального числа $$ A=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\ldots+10a_1+a_0 $$ (с десятичной записью $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_1a_0}$) положим $$ D(A)=a_n+2a_{n-1}+2^2a_{n-2}+\ldots+2^{n-1}a_a+2^na_0. $$ Например, $D(1985)=1+2\cdot9+2^2\cdot8+2^3\cdot5=91$, $D(91)=9+2\cdot1=11$, $D(11)=3$.
