«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Про треугольник $ABC$ с длинами сторон $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ известно, что $3\widehat{A}+2\widehat{B}=180^\circ$. Докажите, что $a^2+bc-c^2=0$.
Текст задачи готовится
Существует ли такая прогрессия из
На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смежные стороны шестиугольника $A_1\ldots A_6$ ($A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$) определяют треугольник…
Можно ли в $4n-4$ клеток, расположенных по периметру квадрата $n \times n$ клеток, расставить $4n-4$ последовательных целых чисел (не обязательно положительных) так, чтобы суммы чисел в вершинах каждого прямоугольника, стороны которого параллельны диагоналям…
Две касательные к окружности, $CA$ и $CB$, пересекаются в точке $C$ ($A$ и $B$ — точки касания, рис. 1). Вторая окружность проходит через точку $C$, касается прямой $AB$ в точке $B$…
Натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ удовлетворяют равенству $ab=cd$. Докажите, что число $a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984}$ составное.
Существуют ли на плоскости такие три точки $A$, $B$, $C$, что для любой точки плоскости $P$ хотя бы один из отрезков $PA$, $PB$ и $PC$ имеет иррациональную длину?
На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной 1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для прокладки $11\,000~\text{км}$ шоссейных дорог. Сможет ли она соединить сетью шоссейных дорог все свои города?
