Задачник «Кванта» / Квант. — 1985. — № 12 / 1985 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 12. — С. 26—36, 51, 54.

Задачи М957 и М958 (в немного изменённой формулировке) предлагались на XXVI Международной математической олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М956‍—‍М960; Ф968‍—‍Ф972 Задачи М956—М960; Ф968—Ф972 // Квант. — 1985. — № 12. — С. 26—28.

Задача М956
На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку $A$‍‍ и три — через точку $B$‍‍ (рис. 1). Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от $A$‍‍ и $B$‍,‍ — вершины…
Задача М957
Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, $\ldots$‍,‍ 23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.
Задача М958
Пусть $0\le i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_n$‍‍ — целые числа. Докажите, что количество нечётных коэффициентов у многочлена $$ (1+x)^{i_1}+(1+x)^{i_2}+\ldots+(1+x)^{i_n} $$ не меньше, чем у многочлена $(1+x)^{i_1}$‍.‍
Задача М959
В стране между некоторыми парами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более $\dfrac1{k-1}$‍‍ часть авиалиний таким образом, что среди любых $k$‍‍ городов найдутся два, не соединённые между собой авиалинией, если
Задача М960
Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа $n$‍,‍ то число $n$‍‍ представляется в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.
1. Докажите это…
Задача Ф968
Текст задачи готовится
Задача Ф969
Текст задачи готовится
Задача Ф970
Текст задачи готовится
Задача Ф971
Текст задачи готовится
Задача Ф972
Текст задачи готовится

Решения задач М936‍—‍М940; Ф948‍—‍Ф952 Решения задач М936—М940; Ф948—Ф952 // Квант. — 1985. — № 12. — С. 28—35.

Задача М936
Докажите, что за $3n+1$‍‍ взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить самый лёгкий и самый тяжёлый из $2n+2$‍‍ камней, если:
1. $n=3$‍;‍
2. $n$‍‍ — любое натуральное число.
Задача М937
Существует ли такая фигура $F$‍,‍ что ею нельзя накрыть полукруг радиуса $1$‍,‍ а двумя её экземплярами можно накрыть круг радиуса $1$‍,‍ если $F$‍:‍
1. произвольная фигура;
2. выпуклая…
Задача М938
Радиус круга с центром $O$‍‍ равномерно вращается, поворачиваясь за одну секунду на угол $\dfrac{360^\circ}n$‍‍ (где $n$‍‍ — натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение $OM_0$‍,‍ через секунду — положение $OM_1$‍,‍ ещё через 2…
Задача М939
В клетки таблицы $10\times10$‍‍ записывают каким-либо образом цифры 0, 1, $\ldots$‍,‍ 9 так, что каждая цифра встречается 10 раз.
1. Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и каждом столбце встречалось не более 4 различных цифр?
Задача М940
1. Квадрат разбит на прямоугольники. Назовём цепочкой такое множество этих прямоугольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытий (рис. 1). Докажите, что любые два прямоугольника входят в некоторую…
Задача Ф948
Текст задачи готовится
Задача Ф949
Текст задачи готовится
Задача Ф950
Текст задачи готовится
Задача Ф951
Текст задачи готовится
Задача Ф952
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 12. — С. 26—36, 51, 54.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1985
Номер: 12
Страницы: 26—36, 51, 54
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 12. — С. 26‍—‍36, 51, 54.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1985/12/zadachnik_kvanta-82f8b7b5/
Полный текст: опубликован 03.02.2026

Задачник «Кванта» (1985, № 12)Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 12. — С. 26‍—‍36, 51, 54.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 12. — С. 26—36, 51, 54.

Задачи М956‍—‍М960; Ф968‍—‍Ф972 Задачи М956—М960; Ф968—Ф972 // Квант. — 1985. — № 12. — С. 26—28.

Решения задач М936‍—‍М940; Ф948‍—‍Ф952 Решения задач М936—М940; Ф948—Ф952 // Квант. — 1985. — № 12. — С. 28—35.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 12. — С. 26—36, 51, 54.