«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Все стороны выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ равны 1. Докажите, что радиус описанной окружности одного из треугольников $ACE$ и $BDF$ не меньше 1.
Обозначим через $\{x\}$ дробную часть числа $x$; $\{x\}=x-[x]$, где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?
За круглым столом сидят $n$ участников «безумного чаепития». Каждую минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в противоположном порядке (так что левые соседи у всех станут правыми и наоборот)? Решите эту…
Текст задачи готовится
В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно. Известно, что длины отрезков $AA_{1}$, $BB_{1}$ и…
В квадратной клетке со стороной 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может одним выстрелом прострелить анаконду сразу в 6 местах. Не преувеличивает ли барон? (Анаконду можно считать произвольной ломаной длины 10, расположенной внутри…
13 рыцарей из $k$ разных кланов ($1 \lt k \lt 13$) сидят за круглым столом. Каждый держит золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков ровно $k$. Король Артур приказал рыцарям одновременно передать кубки своим соседям справа, потом сделать то же самое ещё раз…
В пространстве расположено $2n$ ($n\ge 2$) точек (так, что никакие 4 не лежат в одной плоскости) и проведено $n^2+1$ отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
(Задача о гайке.) Если внутри правильного $2n$-угольника со стороной $a$ и центром $O$ поместить произвольным образом правильный $2n$-угольник со стороной $\dfrac a2$, то он накроет точку $O$. Докажите это…
