Задачник «Кванта» / Квант. — 1984. — № 4 / 1984 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Задачи М856‍—‍М860; Ф868‍—‍Ф872 Задачи М856—М860; Ф868—Ф872 // Квант. — 1984. — № 4. — С. 32—35.

Задача М856
1. Постройте четырёхугольник, зная длины его сторон и длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.
2. При каких условиях задача имеет решение?
Задача М857
Среди 1984 первых натуральных чисел (от 1 до 1984) отметим те, которые можно представить в виде суммы пяти целых неотрицательных степеней двойки (то есть пяти не обязательно различных чисел 1, 2, 4, 8, $\ldots$‍).‍ Каких чисел окажется больше: отмеченных или не отмеченных?
Задача М858
Для величин $\alpha$‍,‍ $\beta$‍‍ и $\gamma$‍‍ углов некоторого треугольника выполнено соотношение $$ \sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin\gamma. $$
1. Найдите $\alpha$‍,‍ $\beta$‍,‍ $\gamma$‍,‍ если известно, что треугольник равнобедренный…
Задача М859
Найдите наименьшее положительное число $a$‍‍ такое, что для любого квадратного трёхчлена $f(x)$‍,‍ удовлетворяющего при $0\le x\le1$‍‍ неравенству $|f(x)|\le1$‍,‍ выполняется неравенство $|f'(1)|\le a$‍.‍
Задача М860
1. Пусть $O$‍‍ и $R$‍‍ — центр и радиус описанной окружности треугольника $ABC$‍,‍ $Z$‍‍ и $r$‍‍ — центр и радиус его вписанной окружности, $K$‍‍ — точка…
Задача Ф868
[MISSING TEXT]
Задача Ф869
[MISSING TEXT]
Задача Ф870
[MISSING TEXT]
Задача Ф871
[MISSING TEXT]
Задача Ф872
[MISSING TEXT]

Решения задач М841‍—‍М845; Ф852‍—‍Ф857 Решения задач М841—М845; Ф852—Ф857 // Квант. — 1984. — № 4. — С. 35—41.

Задача Ф852
[MISSING TEXT]
Задача М841
Докажите, что произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника.
Задача М842
1. Докажите, что если $\alpha+\beta+\gamma=0$‍,‍ то $$ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=-4\sin\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\beta}{2}\sin\dfrac{\gamma}{2}. $$
2. Величины $\widehat{A}$‍,‍ $\widehat{B}$‍‍ и $\widehat{C}$‍‍ углов треугольника удовлетворяют условию $$ \dfrac{\sin\widehat{A}+\sin\widehat{B}+\sin\widehat{C}}{\cos\widehat{A}+\cos\widehat{B}+\cos\widehat{C}}=\sqrt{3}. $$ Докажите, что хотя бы один из них равен…
Задача М843
В вершинах треугольника $ABC$‍‍ восстановлены перпендикуляры $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍,‍ $CC_1$‍‍ к его плоскости по одну сторону от неё, равные по длине соответствующим высотам треугольника. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки пересечения плоскостей…
Задача М844
1. Докажите, что любое натуральное число $a$‍‍ можно единственным образом представить в виде $$ a=a_1\cdot1!+a_2\cdot2!+\ldots+a_n\cdot n!, \tag{1} $$ где $a_k$‍‍ — целые числа, $0\le a_k \le k$‍,‍ $a_n\neq0$‍.‍ (По определению, $k!=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k$‍,‍ $1!=1.$‍)‍
Задача М845
Для каких $n$‍‍ из $n$‍‍ уголков, состоящих из четырёх клеток $1\times1$‍,‍ и некоторого числа прямоугольников $4\times1$‍‍ (рис. 1) можно составить центрально-симметричную фигуру (многоугольник на клетчатой бумаге)?
Задача Ф853
[MISSING TEXT]
Задача Ф854
[MISSING TEXT]
Задача Ф855
[MISSING TEXT]
Задача Ф856
[MISSING TEXT]
Задача Ф857
[MISSING TEXT]

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1984. — № 4. — С. 32—41.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1984
Номер: 4
Страницы: 32—41
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1984. — № 4. — С. 32‍—‍41.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1984/4/zadachnik_kvanta-73cbeb5a/
Полный текст: опубликован 27.10.2025

Задачник «Кванта» (1984, № 4)Задачник «Кванта» // Квант. — 1984. — № 4. — С. 32‍—‍41.‍‍

Изображения страниц

Задачи М856‍—‍М860; Ф868‍—‍Ф872 Задачи М856—М860; Ф868—Ф872 // Квант. — 1984. — № 4. — С. 32—35.

Решения задач М841‍—‍М845; Ф852‍—‍Ф857 Решения задач М841—М845; Ф852—Ф857 // Квант. — 1984. — № 4. — С. 35—41.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1984. — № 4. — С. 32—41.