«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что среднее арифметическое длин сторон правильного многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей.
Квадрат расчерчен на $n\times n$ клеток. Двое игроков по очереди обводят по одной стороне одной клетки (дважды обводить одну и ту же сторону нельзя). Кто выиграет при правильной игре, если
Из цифр 1, 2, $\ldots$, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равняться сумме седьмых степеней остальных чисел.
Через точку пересечения биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Докажите, что длина меньшего основания образовавшейся трапеции равна полусумме длин её…
Пусть $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$, $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$. Докажите, что если прямые $MN$ и…
Последовательность $x_n$ задаётся условиями: $$ x_1=2;\quad x_{n+1}=\dfrac{2+x_n}{1-2x_n}\quad (n=1{,}~2{,}~3{,}~\ldots). $$ Докажите, что
Оросительная установка, расположенная в точке $O$, обслуживает круг радиуса 100 м с центром $O$. Такими установками нужно полностью орошать квадратное поле $1~\text{км}\times1~\text{км}$.
На однокруговый шахматный турнир приехало $n$ шахматистов из страны $A$ и $n$ шахматистов из страны $B$. Оказалось, что как бы ни разбить шахматистов на пары (чтобы друг с другом играли шахматисты разных стран), найдётся хотя бы одна…
