«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — $k$ (неокрашенных) клеток — в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — $k$ клеток — в синий и т. д. Первый…
Найдите сумму $$ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\ldots+\frac{n-1}{n!} $$ (через $k!$ обозначается произведение $1\cdot2\cdot\ldots\cdot k$).
Докажите, что в любой выпуклый многоугольник $M$ можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше $1/4$ площади многоугольника $M$.
Текст задачи готовится
Пете подарили микрокалькулятор, на котором можно выполнять следующие операции: по любым данным числам $x$ и $y$ вычислить $x+y$, $x-y$, $x+1$ и $\dfrac1x$ (при $x\ne0$). Петя утверждает, что с помощью своего…
Решите в натуральных числах уравнения
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $K$ первой окружности проводятся прямые $KA$ и $KB$, пересекающие вторую окружность в точках $P$ и $Q$ (рис. 2). Докажите, что…
Обозначим через $\sigma (n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$. $$ \def\a#1{\enspace\mathclap{#1}\enspace} \def\|{\vphantom{\dfrac12}} \begin{array}{|c|cccccccccccc|} \hline \a{n}&&\a1&\a2&\a3&\a4&\a5&\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}&\|\\ \hline ~\a{\sigma(n)}~&&\a1&\a3&\a4&\a7&\a6&\a{12}&\a8&\a{15}&\a{13}&\a{18}&\|\\ \hline \end{array} $$ Докажите, что существует бесконечно много $n$ таких, что
