Задачник «Кванта» / Квант. — 1983. — № 10 / 1983 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 10. — С. 43—51.

Задачи М826⁠—⁠М830 и Ф838⁠—⁠Ф842 предлагались на заключительном этапе Всесоюзной олимпиады школьников. Число в скобках обозначает класс, в котором предлагалась задача.

Открыть в номере

Задачи М826⁠—⁠М830; Ф838⁠—⁠Ф842 Задачи М826—М830; Ф838—Ф842 // Квант. — 1983. — № 10. — С. 43—46.

Задача М826
На доске написали три числа. Затем одно из них стёрли и вместо него написали сумму двух других чисел, уменьшенную на единицу. Эту операцию повторили несколько раз и в результате получили числа 17, 1967, 1983. Могли ли первоначально быть написаны числа
1. 2, 2,…
Задача М827
Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.
1. Докажите, что три красных четырёхугольника на этом рисунке также равновелики.
2. Найдите площадь одного четырёхугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.…
Задача М828
Можно ли в клетках бесконечного листа клетчатой бумаги расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в каждом прямоугольнике размера $4\times 6$‍‍ клеток, стороны которого идут по линиям сетки, равнялась а) 10; б) 1?
Задача М829
Докажите, что среди любых $2m+1$‍‍ различных целых чисел, по модулю не превосходящих $2m-1$‍,‍ найдутся три числа, сумма которых равна 0.
Задача М830
Школьник упражняется в решении квадратных уравнений. Выписав какое-то уравнение $x^2+p_1x+q_1=0$‍,‍ он решает его и, убедившись, что оно имеет два корня, составляет второе уравнение $x^2+p_2x+q_2=0$‍,‍ в котором $p_2$‍‍ — это меньший, а $q_2$‍‍ — больший корень первого…
Задача Ф838
Текст задачи готовится
Задача Ф839
Текст задачи готовится
Задача Ф840
Текст задачи готовится
Задача Ф841
Текст задачи готовится
Задача Ф842
Текст задачи готовится

Решения задач М811⁠—⁠М815; Ф823⁠—⁠Ф827 Решения задач М811—М815; Ф823—Ф827 // Квант. — 1983. — № 10. — С. 46—51.

Задача М811
Пусть $h_a$‍,‍ $h_b$‍,‍ $h_c$‍‍ — высоты, а $m_a$‍,‍ $m_b$‍,‍ $m_c$‍‍ — медианы остроугольного треугольника (проведённые к сторонам $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍),‍ $r$‍‍ и $R$‍‍ —…
Задача М812
Докажите, что при любом натуральном $n$‍‍ $$ \dfrac12+\dfrac1{3\sqrt{2}}+\dfrac1{4\sqrt{3}}+\ldots+\dfrac1{(n+1)\sqrt{n}}\lt2. $$
Задача М813
Даны отрезки $OA$‍,‍ $OB$‍‍ и $OC$‍‍ одинаковой длины (точка $B$‍‍ лежит внутри угла $AOC$‍).‍ На них как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не…
Задача М814
Отметим в натуральном ряде числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например $$ 72=6^2+6^2,\quad 73=8^2+3^2,\quad 74=7^2+5^2. $$
1. Объясните, почему не могут встретиться четыре…
Задача М815
На окружности расставлены $4k$‍‍ точек, занумерованных в произвольном порядке числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ $4k$‍.‍
1. Докажите, что эти точки можно соединить $2k$‍‍ попарно непересекающимися отрезками так, что разность…
Задача Ф823
Текст задачи готовится
Задача Ф824
Текст задачи готовится
Задача Ф825
Текст задачи готовится
Задача Ф826
Текст задачи готовится
Задача Ф827
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 10. — С. 43—51.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1983
Номер: 10
Страницы: 43—51
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 10. — С. 43⁠—⁠51.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1983/10/zadachnik_kvanta-36f2bbc1/
Полный текст: опубликован 27.10.2025

Задачник «Кванта» (1983, № 10)Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 10. — С. 43⁠—⁠51.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 10. — С. 43—51.

Задачи М826⁠—⁠М830; Ф838⁠—⁠Ф842 Задачи М826—М830; Ф838—Ф842 // Квант. — 1983. — № 10. — С. 43—46.

Решения задач М811⁠—⁠М815; Ф823⁠—⁠Ф827 Решения задач М811—М815; Ф823—Ф827 // Квант. — 1983. — № 10. — С. 46—51.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 10. — С. 43—51.