«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На окружности отмечены $3k$ точек, разделяющих её на $3k$ дуг, из которых $k$ дуг имеют длину $1$, ещё $k$ дуг — длину $2$, и остальные $k$ дуг — длину $3$. Докажите, что среди…
Квадратная таблица $n\times n$ клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся одно от другого не больше, чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице:
Числа $a$, $b$, $c$ лежат на интервале $\left(0,\dfrac\pi2\right)$ и удовлетворяют равенствам: $$ \begin{align*} \cos a&=a,\\ \sin\cos b&=b,\\ \cos\sin c&=c. \end{align*} $$ Расположите эти числа в порядке возрастания.
Внутри тетраэдра выбрана точка $M$. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки $M$ под углом, косинус которого не больше, чем $-\dfrac{1}{3}$.
Про функцию $f$, определённую на множестве всех пар неотрицательных целых чисел $(x;y)$, известно следующее:
для каждой пары…
