«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что сумма квадратов трёх последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.
Сумма $n$ чисел, каждое из которых не превосходит по модулю 1, равна $s$. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от $\dfrac s3$ не более чем на $\dfrac13$.
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $L$, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ (рис. 2). Пусть $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус…
В основании треугольной пирамиды $PABC$ лежит правильный треугольник $ABC$. Докажите, что если углы $PAB$, $PBC$, $PCA$ конгруэнтны, то пирамида $PABC$ — правильная.
Текст задачи готовится
Докажите, что при любом значении $x$, для которого правая часть имеет смысл, выполнены равенства
где $n$ — нечётное число, $c_n$ — константа…
Серёжа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тётю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь…
расположены $n$ точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше $n^2$.
В стране $N$ городов.
В треугольник $ABC$ вписан подобный ему треугольник $A_1B_1C_1$ (вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$, углов, равных по величине $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$, лежат, соответственно, на отрезках $BC$,…
