«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Для любого ли числа $x \ge1 $ верно равенство $$ \left[\sqrt{\left[\sqrt{x}\right]}\right]=\left[ \sqrt{\sqrt{x}}\right]? $$ (Здесь через $[y]$ обозначена целая часть числа $y$.)
Даны натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ такие, что $a_k \le k$ $(k=1,2, \ldots,n)$ и сумма $a_1+a_2+\ldots+a_n$ чётна. Докажите, что одно из выражений $$ a_1\pm a_2\pm a_3\pm \ldots \pm a_n $$ равно нулю.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями З см, 1 см и высотой 1 см, нельзя составить прямоугольник.
Текст задачи готовится
Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $CD$ и $DE$. Прямые $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что:
Докажите, что каждое натуральное число представляется в виде $a_0+2a_1+2^2a_2+\ldots+2^na_n$, где каждое из чисел $a_k=0$, $-1$ или 1 и $a_k\cdot a_{k+1}=0$ для всех $0\le k\le n-1$, причём такое представление единственно.
Карточки с числами 1, 2, $\ldots$, 32 сложены в стопку по порядку. Разрешается снять сверху любое число карточек и вложить их между некоторыми из оставшихся или под ними, не меняя порядка тех и других, а в остальном произвольно.
Эта операция называется…
