«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Можно ли числа 1, 2, $\ldots$, 30 разбить на группы
так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?
Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$…
Докажите, что если для вписанного четырёхугольника $ABCD$ выполнено равенство $|CD|=|AD|+|BC|$, то биссектрисы его углов $A$ и $B$ пересекаются на стороне $CD$.
Пусть $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — действительные числа такие, что $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Докажите, что сумма модулей $2^n$ чисел $$ \pm x_1 \pm x_2 \pm \ldots \pm x_n $$ (со всевозможными комбинациями знаков «$+$» и «$-$») не…
На отрезке $[0;1]$ задано множество $M$, являющееся объединением нескольких отрезков, такое, что расстояние между любыми двумя точками из $M$ не равно $0{,}1$. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих $M$, меньше
Функция $f$ определена на отрезке $[a;b]$ длины 4 и имеет на нём непрерывную производную $f'$. Докажите, что внутри отрезка $[a;b]$ найдётся точка $x$, для которой $$ f'(x)-(f(x))^2\lt1. $$
Для каких точек $M$ стороны $BC$ треугольника $ABC$ верно утверждение: $\triangle MPQ \cong \triangle ABC$, если точки $P$ и $Q$ являются:
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — различные положительные числа. Обозначим через $b_k$ среднее арифметическое всевозможных произведений по $k$ данных чисел ($k=1$, 2, $\ldots$,…
