«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На хорде $AB$ окружности с центром $O$ берётся произвольная точка $M$. Через точки $A$, $M$ и $O$ проводится окружность, пересекающая первую окружность в точках $A$ и $C$.…
Возрастающая последовательность натуральных чисел $(a_n)$ такова, что $a_{n+1}\le 10a_n$. Докажите, что если все числа $a_n$ записать рядом (без пробелов и запятых), то полученная последовательность цифр не будет периодической.
На сторонах треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники $ADB$, $BEC$ и $CFA$ ($\dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac{|CF|}{|FA|}=k$; $\widehat{ADB}=\widehat{BEC}=\widehat{CFA}=\alpha$). Докажите, что:
Докажите, что периметр любого сечения треугольной пирамиды плоскостью не превосходит наибольшего из периметров её граней.
