Бабенко Ю.

Задача для исследованияБабенко Ю. Задача для исследования // Квант. — 1980. — № 11. — С. 11.‍‍

1. Для каких натуральных $k$‍‍ верна следующая теорема: На сфере расположено шесть точек так, что лучи, соединяющие центр сферы с этими точками, образуют три взаимно перпендикулярные прямые. Тогда сумма $k$‍‍-х степеней расстояний от любой точки сферы до этих шести точек одна и та же.
2. А если вместо этих шести точек взять на сфере четыре вершины правильного тетраэдра?
3. Восемь вершин вписанного куба?

Выясните, вообще, для каких $k$‍‍ и $n$‍‍ можно расположить на сфере $n$‍‍ точек так, чтобы сумма $k$‍‍-х степеней расстояний до этих точек от любой точки сферы была постоянной, и опишите все (или наиболее симметричные) такие расположения.