Текст статьиМихеев Ю. В. Одной линейкой // Квант. — 1980. — № 10. — С. 26—29.
На этом занятии математического кружка мы будем решать задачи на построение одной линейкой. Что можно построить таким образом из данных четырёх точек? Мы дадим некоторый ответ на этот вопрос. Попутно будет решена задача М625.
Дан конечный набор точек, линейка и карандаш. Какие новые точки можно тогда построить?
Уточним постановку задачи. Точку будем считать построенной, если она одна из данных или является пересечением двух построенных прямых; в свою очередь, прямую будем считать построенной, если она проходит через построенные (в частности, данные) точки. Общая задача состоит в том, чтобы описать множество точек, которые можно построить исходя из данного конечного набора точек.
Ясно, что если даны одна, две или три точки, никаких новых точек построить нельзя (рис. 1); если даны четыре точки, какие-то три из которых (или все четыре) лежат на одной прямой, тоже, очевидно, никаких новых точек построить нельзя (рис. 2); если, наконец, даны четыре точки, лежащие в вершинах параллелограмма, можно построить только одну точку — его центр (рис. 3). Пусть теперь даны четыре точки, не образующие вершины параллелограмма и такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Для краткости будем здесь говорить, что такие точки находятся в общем положении.
Рис. 1Рис. 2Рис. 3
Рассмотрим сначала частный случай: данные точки $P$, $Q$, $P'$, $Q'$ лежат в вершинах трапеции (рис. 4). В первых шести задачах эта конфигурация считается заданной.
Задача 1. Разделить отрезок $PQ$ пополам.
Решение показано на рисунке 4. На нем черным изображены данные точки $P$, $Q$, $P'$, $Q'$ и параллельные прямые $PQ$, $P'O'$, дальнейшие построения выполнены красным цветом, причём номерами указан порядок проведения прямых.
Рис. 4Рис. 5
Задача 2. Удвоить отрезок $P'Q'$.
Решение показано на рисунке 5; на нем черным изображена и уже построенная точка $F$ — серединa $[PQ]$. Равенство $|P'Q'|=|Q'R'|$ следует из подобия треугольников $\triangle PMF\sim\triangle R'MQ'$, $\triangle FMQ\sim\triangle Q'MP$ и равенства $|PF|=|FQ|$.
Задача 3. Построить отрезок длины $n\cdot|P'Q'|$.
Для этого нужно просто $n-1$ раз повторить процедуру, использованную в предыдущей задаче. На рисунке 6 построение показано для $n=3$.
Разумеется, аналогично на прямой $PQ$ можно построить отрезок длины $m\cdot|PQ|$.
Рис. 6Рис. 7
Задача 4. Разделить отрезок $P'Q'$ на $m$ равных частей.
Решение. Сначала на прямой $PQ$ строим $m-1$ конгруэнтных отрезков $PQ_2$, $Q_2Q_3$, $\ldots$, $Q_{m-1}Q_m$. Затем строим $(PP')$) и $(Q_mQ')$ и соединяем их точку пересечения $A$ с точками $Q_2$, $Q_3$, $\ldots$, $Q_{m-1}$. Полученные $m-1$ прямых делят $[P'Q']$ на $m$ равных частей. Для $m=4$ конструкция показана на рисунке 7.
(Заметим, что конструкция не проходит, если $(PP')\parallel(Q_mQ')$. Но эту трудность легко обойти: можно сначала удвоить $[PQ]$, затем построить $m$ отрезков, конгруэнтных удвоенному отрезку, и далее повторить указанное в предыдущем абзаце построение.)
Для дальнейшего нам придётся предположить, что данные точки $F$, $Q$, $P'$, $Q'$ — рациональные, т. е. имеют рациональные координаты относительно некоторой системы координат.
Задача 5. Построить произвольную рациональную точку $S$ на прямой $PQ$.
Решение. Для рациональных точек $P$, $Q$, $S$ отношение $|PS|:|PQ|$ рационально (докажите!), и значит $|PS|=\dfrac{m}{n}|PQ|$, где $m$, $n\in\N$. Поэтому достаточно разделить отрезок $PQ$ на $n$ равных частей и $m$ раз отложить от точки $P$ полученный отрезок.
Точно так же можно построить любую рациональную точку $T\in(P'Q')$.
Задача 6. Построить произвольную рациональную точку $T$ на плоскости.
Решение. Допустим, точка $T$ уже построена. Проведём прямые $TP'$ и $TQ'$; они пересекут ($PQ$) в точках $E$ и $F$. Так как прямые $TP'$, $TQ'$, $PQ$ рациональны (т. е. записываются в виде линейных уравнений с рациональными коэффициентами), координаты точек $E$ и $F$ получаются как решения систем линейных уравнений с рациональными коэффициентами и поэтому тоже рациональны. Умея строить $E$ и $F$, мы построим и точку $T$.
Итак, отправляясь от трапеции с рациональными вершинами, можно построить вообще любую рациональную точку! Естественно спросить — а какие ещё точки можно построить? Оказывается — никаких.
Задача 7. Доказать, что любая точка, построенная одной линейкой из набора рациональных точек, рациональна.
Действительно, прямая, проходящая через рациональные точки, рациональна и точка пересечения рациональных прямых (как решение системы линейных уравнений с рациональными коэффициентами) тоже рациональна.
Пусть теперь $A$, $B$, $C$, $D$ — четыре рациональные точки, находящиеся в общем положении. Вы, наверное, угадали, какие точки можно построить исходя из точек $A$, $B$, $C$, $D$ — конечно же, как и в предыдущем случае, все рациональные. Более того, ясно, как можно постараться закончить доказательство этого факта: достаточно получить две параллельные прямые. Но это как раз самая трудная часть наших построений.
Рис. 8Рис. 9
По условию точки $A$, $B$, $C$, $D$ либо образуют выпуклый четырёхугольник, отличный от параллелограмма, либо одна из точек находится внутри треугольника, образованного остальными тремя точками. Проведя в каждом из этих случаев прямые, как на рисунках 8, а, б, получим одинаковые конфигурации. Поэтому введём новые обозначения (см. рисунок 9, на котором данные и построенные точки не различаются).
Впрочем, из наших условий не следует, что прямые $EF$ и $MN$ пересекаются: они могут быть и параллельными. Когда же это произойдёт?
Задача 8. Доказать, что если $|MK|=|KN|$, то $(MN)\parallel(EF)$.
Решение легко получить, если вспомнить решение задачи 2.
Задача 9. В случае, когда $|MK|=2|KN|$, построить прямую, параллельную ($MN$).
Решение. Сперва докажем, что в нашем случае $|MN|=|NL|$. Для этого нам придётся применить теоремы Чевы и Менелая (их доказательства можно прочитать, например, в «Кванте», 1976, №11, с. 22). Первая из этих теорем утверждает, что если вершины треугольника $EFK$ (рис. 9) лежат coответственно на прямых $MS$, $SN$, $NM$, то $$
\dfrac{|MK|}{|KN|}\cdot\dfrac{|NF|}{|FS|}\cdot\dfrac{|SE|}{|EM|}=1.
$$
Вторая утверждает, что если точки $E$, $F$, $L$ лежат соответственно на прямых $SM$, $SN$, $MN$ и расположены на одной прямой, то $$
\dfrac{|ML|}{|LN|}\cdot\dfrac{|NF|}{|FS|}\cdot\dfrac{|SE|}{|EM|}=1.
$$
Сопоставляя эти равенства, получаем $|ML|=2|NL|$, откуда $|MN|=|NL|$. А теперь построение параллельной прямой легко получается известным нам, в сущности, способом (рис. 10).
Рис. 10Рис. 11
Задача 10. В случае, когда $2|MN|=3|KN|$, постройте прямую, параллельную ($MN$).
Указание. Покажите, что $|MN|=2|NL|$ (рис. 11) и примените задачу 9.
Задача 11. Постройте прямую, параллельную прямой $MN$, в общем случае.
Решение нам подсказывают предыдущие задачи. Пусть $|MK|:|KN|=p:q$, где $p\gt q$ (случай $p\lt q$ сводится к этому переименованием точек). Рассуждать мы будем индукцией по $l$. Базис индукции, т. е. случай $l=1$. Предположим, что при $p$, $q\le l$ мы умеем по точкам $M$, $K$, $L$ строить прямую, параллельную ($MN$). Пусть теперь $|MK|:|KM|=(l+1):q$. Сопоставляя (1) и (2), получаем
$$
\dfrac{|MN|}{|ML|}=\dfrac{l+1-q}{q}
$$
и можно воспользоваться предположением индукции, согласно которомy по точкам $M$, $N$, $L$ можно построить прямую, параллельную прямой ($MN$).
Таким образом, мы доказали следующую замечательную теорему (и попутно решили задачу М625):
Теорема. Множество точек, которые можно построить одной линейкой из четырёх рациональных точек, находящихся в общем положении, состоит из всех рациональных точек плоскости.
Очевидно, увеличение числа исходных рациональных точек не меняет множества точек, которые можно построить.
Наверное, читателю хотелось бы узнать, какие точки можно построить исходя из четырёх точек в общем положении, не все координаты которых рациональны. К сожалению, чтобы хорошо и точно сформулировать ответ, необходимо привлечь понятия из проективной геометрии. Однако интуитивно ясно, что в указанном случае получается множество точек, очень «похожее» на множество всех рациональных точек. Если говорить более точно, то данное множество «проективно-эквивалентно» множеству рациональных точек.
Упражнения
С помощью циркуля и линейки, исходя из четырёх точек в общем положении, постройте точку, которую нельзя построить одной линейкой (циркулем разрешается строить окружность $O(A, |AB|)$, где $A$, $B$ — построенные точки; точки пересечения построенной окружности с построенной прямой считаются построенными).
Даны три точки $O$, $A$, $B$ и две параллельные прямые $l$, $m$, причём $A$, $B\in l$ и $O\notin l$, $O\notin m$. Построить одной линейкой
прямую, проходящую через $O$ парралельно $l$;
прямую, проходящую через $A$ парралельно $OB$.
Даны пять точек $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,2)$, $(\sqrt3,0)$. Какие точки можно из них построить одной линейкой?
