Задачник «Кванта» / Квант. — 1979. — № 8 / 1979 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 8. — С. 38—48.

В этом номере Задачник составлен из задач, предлагавшихся на ХIII Всесоюзной олимпиаде школьников. Число в скобках обозначает класс, в котором предлагалась соответствующая задача.

Открыть в номере

Задачи М576‍—‍М580; Ф588‍—‍Ф592 Задачи М576—М580; Ф588—Ф592 // Квант. — 1979. — № 8. — С. 38—40.

Задача М576
На плоскости дано несколько точек. Для некоторых пар $(A;B)$‍‍ этих точек взяты векторы $\overrightarrow{AB}$‍,‍ причём так, что в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна $\overrightarrow{0}$‍.‍
Задача М577
Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размерами
1. $8\times8$‍‍ клеток,
2. $n\times n$‍‍ клеток
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной…
Задача М578
Найти $x$‍‍ и $y$‍‍ из системы уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x-y\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{1-x^2+y^2}}=a,\\ \dfrac{y-x\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{1-x^2+y^2}}=b \end{array}\right. $$ ($a$‍‍ и $b$‍‍ — данные числа).
Задача М579
Докажите, что для любых чисел $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍,‍ принадлежащих отрезку $[0; 1]$‍,‍ выполнено неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2 \ge 4(x_1^2 + x_2^2+\ldots+x_n^2). $$
Задача М580
В парламенте у каждого его члена не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у каждого парламентария в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считается, что если $A$‍‍ — враг $B$‍,‍ то $B$‍‍ — враг…
Задача Ф588
Текст задачи готовится
Задача Ф589
Текст задачи готовится
Задача Ф590
Текст задачи готовится
Задача Ф591
Текст задачи готовится
Задача Ф592
Текст задачи готовится

Решения задач М521‍—‍М527; Ф533‍—‍Ф536 Решения задач М521—М527; Ф533—Ф536 // Квант. — 1979. — № 8. — С. 40—48.

Задача М521
Обозначим через $a_n$‍‍ целое число, ближайшее к $\sqrt{n}$‍.‍ Найдите сумму $$ \dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\dfrac1{a_3}+\ldots+\dfrac1{a_{1980}}.$$
Задача М522
На плоскости задано несколько непересекающихся отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Мы хотим провести еще несколько отрезков, соединяющих концы данных отрезков так, чтобы все отрезки вместе образовали одну несамопересекающуюся ломаную. Всегда ли это можно сделать?
Задача М523
Фишка стоит в углу шахматной доски размером $n \times n$‍‍ клеток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает её на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда…
Задача М524
Докажите, что ни при каком натуральном $m$‍‍ число $1978^m-1$‍‍ не делится на $1000^m-1$‍.‍
Задача М525
Докажите, что для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше $\sqrt{2}$‍.‍
Задача Ф533
Текст задачи готовится
Задача Ф534
Текст задачи готовится
Задача Ф535
Текст задачи готовится
Задача Ф536
Текст задачи готовится
Задача М526
1. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна $$ S=\dfrac{\tg\phi\,|a^2-b^2+c^2-d^2|}4, $$ где $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и $d$‍‍ — длины последовательных сторон четырёхугольника, $\phi$‍‍ — величина угла между его диагоналями,…
Задача М527
Пусть $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ — действительные числа, $0\le x_i\le1$‍.‍ Докажите, что величина $$ x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}+x_n-x_1x_2-x_2x_3-\ldots-x_{n-1}x_n-x_nx_1 $$ не превосходит
1. 1 при $n=3$‍;‍
2. 2 при $n=4$‍;‍

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 8. — С. 38—48.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1979
Номер: 8
Страницы: 38—48
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 8. — С. 38‍—‍48.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1979/8/zadachnik_kvanta-27aedd6d/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1979, № 8)Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 8. — С. 38‍—‍48.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 8. — С. 38—48.

Задачи М576‍—‍М580; Ф588‍—‍Ф592 Задачи М576—М580; Ф588—Ф592 // Квант. — 1979. — № 8. — С. 38—40.

Решения задач М521‍—‍М527; Ф533‍—‍Ф536 Решения задач М521—М527; Ф533—Ф536 // Квант. — 1979. — № 8. — С. 40—48.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 8. — С. 38—48.