Сорокин Г. А.

Вычислим число eСорокин Г. А. Вычислим число e // Квант. — 1979. — № 8. — С. 8.‍‍

На с. 4‍ было доказано, что $e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n$‍‍ равно сумме ряда $1+\dfrac1{1!}+\dfrac1{2!}+\ldots$‍.‍ Однако можно указать ряд, частичные суммы которого сходятся к $e$‍‍ намного быстрее частичных сумм ряда $1+\dfrac1{1!}+\dfrac1{2!}+\ldots$‍.‍ Ниже предлагается несколько задач, решив которые, вы с помощью несложных выкладок научитесь точно вычислять много знаков числа $e$‍.‍

1. Докажите, что при $n\ge2$‍‍ справедливо равенство $$ 1+1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}+\dfrac1{n\cdot n!}=3-\dfrac1{1\cdot2\cdot2!}-\dfrac1{2\cdot3\cdot3!}-\ldots-\dfrac1{(n-1)\cdot n\cdot n!}. $$

   Указание. Примените метод математической индукции.

2. Докажите, что $$ e=3-\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac1{(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+2)!}. $$
3. Докажите, что $$ e=\dfrac{87}{32}-\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac1{(n+4)\cdot(n+5)\cdot(n+5)!}.\tag1 $$
4. Пусть $$ e=\dfrac{87}{32}-\sum\limits_{n=0}^{k-1}\dfrac1{(n+4)\cdot(n+5)\cdot(n+5)!}-R_k.$$ Оцените остаток $R_k$‍.‍
5. Вычислите приближённое значение $e$‍,‍ взяв три члена ряда $(1),$‍‍ и оцените погрешность приближения.
6. Докажите, что $$ \sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac1{(n+4)\cdot(n+5)\cdot(n+5)!}\lt0{,}00047. $$