Задачник «Кванта» / Квант. — 1979. — № 7 / 1979 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 7. — С. 22—32.

Задачи этого номера предлагались на заключительном туре последней Всесоюзной олимпиады. Числа в скобках обозначают класс, в котором предлагались задачи.

Открыть в номере

Задачи М571⁠—⁠М575; Ф583⁠—⁠Ф587 Задачи М571—М575; Ф583—Ф587 // Квант. — 1979. — № 7. — С. 22—24.

Задача М571
Убывающая последовательность $(x_n)$‍‍ положительных чисел такова, что при любом натуральном $n$‍‍ $$ \dfrac{x_1}1+\dfrac{x_4}2+\dfrac{x_9}3+\ldots+\dfrac{x_{n^2}}n\le1. $$ Докажите, что при любом натуральном $n$‍‍ $$ \dfrac{x_1}1+\dfrac{x_2}2+\dfrac{x_3}3+\ldots+\dfrac{x_n}n\lt3. $$
Задача М572
Кенгуру прыгает по углу $x\ge0$‍,‍ $y\ge0$‍‍ координатной плоскости $Oxy$‍‍ следующим образом: из точки $(x;y)$‍‍ кенгуру может прыгнуть в точку $(x+1;y-1)$‍‍ или в точку $(x-5;y+7)$‍,‍ причём прыгать в точки, у которых одна из координат…
Задача М573
Через точку $O$‍‍
1. на плоскости,
2. в пространстве
проведено 1979 прямых, никакие две из которых не перпендикулярны друг другу. На прямой $l_1$‍‍ взята произвольная точка $A_1$‍,‍ отличная от…
Задача М574
Конечная последовательность $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ из чисел 0 и 1 должна удовлетворять следующему условию: для любого целого $k$‍‍ от 0 до $n-1$‍‍ сумма $$ a_1a_{k+1}+a_2a_{k+2}+\ldots+a_{n-k}a_n $$ является нечётным числом.
Задача М575
На прямой по порядку расположены точки $A_0$‍,‍ $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_n$‍‍ так, что длины отрезков $A_0A_1$‍,‍ $A_1A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_{n-1}A_n$‍‍ не превосходят 1. Требуется отметить $k-1$‍‍ из…
Задача Ф583
Текст задачи готовится
Задача Ф584
Текст задачи готовится
Задача Ф585
Текст задачи готовится
Задача Ф586
Текст задачи готовится
Задача Ф587
Текст задачи готовится

Решения задач М517⁠—⁠М519; Ф526, Ф530⁠—⁠Ф532 Решения задач М517—М519; Ф526, Ф530—Ф532 // Квант. — 1979. — № 7. — С. 24—32.

Задача Ф526
Текст задачи готовится
Задача М517
В окружность радиуса $R$‍‍ вписан $n$‍‍-угольник площадью $S$‍.‍ На каждой стороне $n$‍‍-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр $n$‍‍-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше $\dfrac{2S}R$‍.‍
Задача М518
Числа $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ принадлежат отрезку $[a;b]$‍,‍ где $0\lt a\lt b$‍.‍ Докажите неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n)\left(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\ldots+\dfrac1{x_n}\right)\le \dfrac{(a+b)^2}{4ab}\,n^2. $$
Задача М519
Даны две кучки спичек. Вначале в одной кучке $m$‍‍ спичек, в другой — $n$‍‍ спичек, $m \gt n$‍.‍ Двое игроков по очереди берут из кучки спички. За один ход игрок берёт из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное числу спичек в другой кучке.…
Задача Ф530
Текст задачи готовится
Задача Ф531
Текст задачи готовится
Задача Ф532
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 7. — С. 22—32.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1979
Номер: 7
Страницы: 22—32
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 7. — С. 22⁠—⁠32.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1979/7/zadachnik_kvanta-a41c7181/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1979, № 7)Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 7. — С. 22⁠—⁠32.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 7. — С. 22—32.

Задачи М571⁠—⁠М575; Ф583⁠—⁠Ф587 Задачи М571—М575; Ф583—Ф587 // Квант. — 1979. — № 7. — С. 22—24.

Решения задач М517⁠—⁠М519; Ф526, Ф530⁠—⁠Ф532 Решения задач М517—М519; Ф526, Ф530—Ф532 // Квант. — 1979. — № 7. — С. 24—32.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1979. — № 7. — С. 22—32.