Изображения страниц
Текст статьи Слукин Л. Знаю ли я неравенства? // Квант. — 1979. — № 5. — С. 43.
С помощью несложного задания вы можете проверить, хорошо ли вы усвоили раздел «Неравенства». Для этого вам нужно решить восемь предлагаемых задач не более чем за 25 минут. Сверив получившиеся ответы с ответами на с. 62, вы сможете тут же сами себе поставить оценку (по пятибалльной системе), вычислив её по формуле
$$
k=\left[\dfrac n2+1\right],
$$
где
Вы готовы? Засекайте время... Начали!
Задание
- Решить неравенства:
$x^{-2}\lt x^{-3}$. $\dfrac{(x+3)(x+4)}{x+3}\gt0$. $\log_{\sqrt x}x\gt1$. $\left(\dfrac1{\sqrt2}\right)^x\lt3$. $\sin x\gt\cos x$. $\sin x\le\log_23$. - Что больше:
$\log_g\cos6$ или$\sqrt{\cos6}$? - Упростить выражение
$\mathopen|-a|+\sqrt{a^2}$ при$a\lt0$.
Если вы (не превысив лимит времени) заработали «пятёрку», можете перейти к следующему, более трудному заданию. Впрочем, если ваша оценка «четыре» и вы осознали свои ошибки, попробуйте реабилитировать себя. Не торопитесь: время теперь не ограничено.
- Решить неравенства:
$\log_{\sqrt2-0{,}5}{}(x^2(x-3\sqrt2)+2(3x-\sqrt2))\lt6$. $\dfrac{\arcsin(x^2-3x+3)}{x^3-x^2+x+\log_xx^2}\gt0$.
Ответы, указания, решения
$(0;1)$. $(-4;-3)\cup(-3;+\infty)$. $(0;1)\cup(1;+\infty)$. $(\log_{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle\sqrt2}}3;+\infty)=(-2\log_23;+\infty)$. $\left[\dfrac\pi4+2\pi k{;}~\dfrac{5\pi}4+2\pi k\right]$ ($k\in\Z$). $(-\infty;+\infty)$. $\sqrt{\cos6}$ больше.$-2a$.
- Ответ.
$\left(\dfrac94;+\infty\right)$. Решение. Обозначим$\sqrt2=a$; тогда$a=a^2$ и исходное неравенство перепишется в виде $$ \begin{gather*} \log_{a-0{,}5}{}(x^2(x-3a)+a^2(3x-a))\lt6.\\[8pt] \log_{a-0{,}5}{}(x^2(x-3a)+a^2(3x-a))\lt6~\Leftrightarrow~ \log_{a-0{,}5}{}(x-a)^3\lt6~\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow~3\log_{a-0{,}5}(x-a)\lt6~\Leftrightarrow~ \log_{a-0{,}5}{}(x-a)\lt2~\Leftrightarrow~x-a\gt(a-0{,}5)^2. \end{gather*} $$ - Легко видеть, что
$x^2-3x+3\gt0$ при любых$x$. Следовательно,$\arcsin(x^2-3x+3)$ больше нуля при всех таких$x$, что$x^2-3x+3\le1$. Но очевидно, $$ x^2-3x+3\le1~\Leftrightarrow~x^2-3x+2\le0~\Leftrightarrow~1\le x\le2. $$ При$x=1$ теряет смысл$\log_xx^2$, поэтому для исходного неравенства допустимыми являются значения$1\lt x\le2$. Знаменатель исходной дроби равен$x^3-x^2+x+2$. Нетрудно проверить (хотя бы с помощью производной), что на$(1;2]$ это выражение положительно. Ответ:$(1;2]$.