Текст статьи Берюлева Н. С. Построение изображений в линзах и сферических зеркалах // Квант. — 1979. — № 5. — С. 39—43.
Определить положение изображения, полученного с помощью линзы или зеркала, можно двумя способами — алгебраическим расчётом с помощью формулы линзы (зеркала) и геометрическим построением.
Первый способ, пожалуй, более универсален; во многих случаях, особенно в сложных оптических системах, без него не обойтись. Зато второй способ обладает важным достоинством — наглядностью. Поэтому, даже решая задачу алгебраически, мы обычно делаем чертёж, который помогает составить необходимую систему уравнений. Если же задача не слишком громоздкая, геометрическое решение — решение построением — является и более простым.
При построении изображений в тонких линзах обычно используют три характерных луча (рис. 1):
- луч
$AA_1$, проходящий через оптический центр$O$ линзы (побочная оптическая ось), идёт не преломляясь; - луч
$BB_1$, падающий на линзу параллельно главной оптической оси$MN$, преломившись, проходит через задний фокус$F'$ линзы; - луч
$CC_1$, проходящий через передний фокус$F$, после преломления идёт параллельно главной оптической оси линзы.
Обратите внимание, что задним фокусом
- лучи, падающие на линзу параллельным пучком, после преломления в линзе сходятся в задней фокальной плоскости (рис. 2);
- лучи, выходящие из линзы параллельным пучком, до встречи с линзой пересекались в передней фокальной плоскости (рис. 3).
Строго говоря, всё сказанное справедливо только для параксиальных (т. е. очень близких к главной оптической оси) лучей. Подробнее об этом можно прочитать в статье Е. Кузнецова «Линзы и системы линз» («Квант», 1977, №4).
Среди оптических задач больше всего затруднений у абитуриентов вызывают задачи на построение изображений в рассеивающих линзах. По-видимому, трудности возникают у тех, кто не уяснил себе достаточно чётко, что линза имеет два фокуса и что роли этих фокусов различны.
Напомним ещё раз, что задний фокус — это точка на главной оптической оси линзы, где сойдутся после преломления лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.
У собирающей (положительной) линзы задний фокус
Термины «передний фокус» и «задний фокус» помогают в лаконичной форме сформулировать правила построения изображений, единые для положительной и отрицательной линз.
Рассмотрим несколько конкретных задач. Все они предлагались на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.
Задача 1. Зная расположение предмета
Прямая, проходящая через точки
Луч
Построив луч
Задача 2. На рисунке 6 изображён луч, вышедший из рассеивающей линзы. Построить ход луча до линзы.
Проведём побочную оптическую ось параллельно лучу, вышедшему из линзы (рис. 7).
Лучи, идущие после линзы параллельным пучком, до встречи с линзой пересекались в её передней фокальной плоскости.
Соединив точку
Задача 3. С помощью собирающей линзы получен сходящийся пучок лучей. Как пойдут лучи, если на пути пучка поставить рассеивающую линзу (рис. 8)?
Проведём побочную оптическую ось, параллельную верхнему лучу пучка (рис. 9).
Параллельные лучи после линзы пересекаются в её задней фокальной плоскости (точка
Задача 4. Рассеивающую линзу с известным расположением фокальных плоскостей распилили по диаметру. Половинки раздвинули по вертикали на расстояние
Каждая половина линзы даёт своё изображение точки
Проведём произвольный луч
Нижняя часть линзы даёт симметрично расположенное изображение
В сферических зеркалах изображения строятся по тем же правилам, что и в линзах (рис. 12):
- луч
$AO$, проходящий через центр зеркала$O$, при отражении от зеркала не меняет своего направления; - луч
$BB_1$, падающий на зеркало параллельно главной оптической оси, отразившись, идёт через фокус$F$ зеркала (напомним, что фокус сферического зеркала расположен посередине между полюсом зеркала$P$ и его центром$O$); - луч
$DF$, проходящий через фокус, отразившись, идёт параллельно главной оптической оси. Удобно использовать ещё один луч: - луч
$P_1P$, падающий на полюс зеркала$P$, отражается симметрично относительно главной оптической оси$OP$.
Разберём такую задачу:
Задача 5. Известно расположение предмета
Пересечение прямой, проходящей через точки
Проведём отрезки
Окружность радиуса
Фокус зеркала
Упражнения
- Построить изображение предмета
$AB$ в рассеивающей линзе. Положения фокусов указаны на рисунке 15.
- После рассеивающей линзы пучок лучей сошёлся в точке
$A$ (рис. 16). Начертить ход лучей до линзы. - Рассеивающую линзу распилили, как показано на рисунке 17, а, середину удалили, а оставшиеся части сдвинули вплотную.
Построить изображение предмета
$A$, лежащего на оси симметрии оптической системы (рис. 17, б).
- Известно расположение предмета
$A$ и изображения$A'$ относительно полюса$P$ сферического зеркала (рис. 18). Найти положение зеркала и его фокус.
Ответы, указания, решения
- Проведём побочную оптическую ось
$AO$ (рис. 1). Луч$AC$, параллельный главной оптической оси, после встречи с линзой проходит через задний фокус$F'$. Пересечение прямых$AO$ и$CF'$ даёт точку$A'$ — изображение точки$A$. Аналогично находим точку$B'$ — изображение точки$B$. Соединив точки$A'$ и$B'$, получим изображение предмета. - Побочная оптическая ось
$OD$, параллельная верхнему лучу пучка, пересекает переднюю фокальную плоскость в точке$D$ (рис. 2). Лучи$BA$ и$OD$, вышедшие из линзы параллельно друг другу, до встречи с ней пересекались в передней фокальной плоскости линзы; следовательно, продолжение прямой$BD$ определяет ход луча$BA$ до линзы. Аналогично найдём входящий луч, соответствующий выходящему лучу$CA$. - Части линзы работают так же, как целая линза.
Главная оптическая ось
$M_1N_1$, верхней части сложной линзы смещена вниз на расстояние$d$ относительно оси симметрии системы (рис. 3);$O_1$ — оптический центр,$AO_1$ — побочная оптическая ось верхней части линзы. Луч$AB$, параллельный оси$M_1N_1$ после встречи с линзой идёт через задний фокус$F_1'$, верхней части линзы. Пересечение прямых$BF_1'$ и$AO_1$, даёт положение изображения$A'$, образованного верхней частью сложной линзы. Нижняя часть линзы даёт симметрично расположенное изображение$A''$. - Соединим полюс
$P$ с точками$A$ и$A'$ (рис. 4). Ось зеркала проходит через точку$P$ и делит угол$\widehat{APA'}$ пополам. Центр зеркала$O$ лежит в точке пересечения оси с прямой$AA'$. Окружность радиуса$|OP|$ определяет положение зеркала. Зеркало своей отражающей поверхностью обращено к предмету; следовательно, оно вогнутое. Фокус$F$ делит отрезок$|OP|$ пополам.