Текст статьиСефибеков С. Р. Доказательство геометрических неравенств // Квант. — 1979. — № 3. — С. 51—53.
В математических задачах часто бывает полезен такой приём: двумя способами найти одну и ту же величину и приравнять полученные для неё выражения. Пусть мы, например, двумя способами нашли площадь некоторой фигуры. Если в одном из выражений для площади входит, скажем, синус какого-либо угла $\alpha$, то при помощи соотношения $\sin\alpha\le1$ из полученного равенства можно получить некоторое неравенство, порой интересное. В статье С. Сефибекова этот приём иллюстрируется восемью задачами. Эти задачи доступны восьмиклассникам, но они интересны и для поступающих в вуз — задачи такого типа попадаются на устных экзаменах.
Ключ к решению приведённых ниже задач — три формулы для площадей. Как известно («Геометрия 8», п. 108), площадь треугольника равна половине произведения двух (любых) его сторон на синус угла между ними:
$$
S=\dfrac12ab\sin\alpha.\tag1
$$
Выведите отсюда, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:
$$
S=\dfrac12l_1l_2\sin\alpha\tag2
$$
Докажите также, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
$$
S=\dfrac12Pr.\tag3
$$
Задача 1. Доказать, что произведение любых двух сторон треугольника не меньше произведения его периметра на радиус вписанной окружности:$ab\ge Pr$.
Решение. Достаточно приравнять выражения (1) и (3) для площади треугольника и учесть, что $\sin\alpha\le1$.
Замечание. Из решения видно, что если угол между сторонами с длинами $a$ и $b$ — не прямой, то
$$
ab\gt Pr.\tag4
$$
Из неравенства (4) и замечания следует, что для любого треугольника
$$
ab+bc+ca\gt 3Pr.
$$
Задача 2. Доказать, что радиус $R$ окружности, описанной около произвольного треугольника, радиус $r$ вписанной окружности и его периметр $P$ удовлетворяет неравенству
$$
\text{а)}\qquad R\gt\dfrac{\sqrt3}3\sqrt{Pr},\tag5
$$
если треугольник остроугольный или тупоугольный;
$$
\text{б)}\qquad R\ge\dfrac{\sqrt2}2\sqrt{Pr},\tag6
$$
если треугольник прямоугольный.
Решение. а) Соединим центр $O$ описанной окружности с вершинами треугольника.
Для остроугольного треугольника (рис. 1)
$$
S_{ABC}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}.\tag7
$$
По формуле (3)
$$
S_{ABC}=\dfrac12Pr,\tag8
$$
a по формуле (1)
$$
\begin{align*}
S_{AOB}&=\dfrac12R^2\sin\alpha,\tag9\\
S_{BOC}&=\dfrac12R^2\sin\beta,\tag{10}\\
S_{COA}&=\dfrac12R^2\sin\gamma.\tag{11}
\end{align*}
$$
Из равенств (7)—(11)
$$
Pr=R^2(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).\tag{12}
$$
Из общих свойств синуса $\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\le3$. Поскольку $\alpha+\beta+\gamma=360^\circ$,
$$
\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\lt3.\tag{13}
$$
Рис. 1Рис. 2
Для тупоугольного треугольника (с тупым углом в вершине $B$ — рис. 2)
$$
S_{ABC}=(S_{AOB}+S_{COB})-S_{AOC}
$$
или
$$
Pr=R^2(\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta)).\tag{14}
$$
Поскольку $\sin\alpha\le1$, $\sin\beta\le1$, $\sin(\alpha+\beta)\ge-1$ и $\alpha+\beta\ne180^\circ$, мы имеем $\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta)\lt3$. Отсюда и из (14) получаем (5).
б) Соединим вершину прямого угла $C$ с центром $O$ описанной окружности. Для прямоугольного треугольника $ABC$ аналог равенств (12), (14) имеет вид:
$$
Pr=R^2(\sin\widehat{AOC}+\sin\widehat{COB}).
$$
Отсюда $\dfrac{Pr}{R^2}\le2$, что доказывает неравенство (6).
Если $\widehat A=\widehat B=45^\circ$, то $R=\dfrac{\sqrt2}2\sqrt{Pr}$; в этом случае радиус $R$ принимает наименьшее значение. Таким образом, из всех прямоугольных треугольников с фиксированным произведением $Pr$ или, что всё равно (см. формулу (3)), с фиксированной площадью $S$, минимальный радиус $R$ имеет равнобедренный треугольник.
Задача 3. Доказать, что периметр $P$ четырёхугольника, описанного около окружности радиуса $r$, и длины его диагоналей $l_1$, $l_2$, удовлетворяют неравенству:
$$
Pr\le\dfrac{l_1^2+l_2^2}2.
$$
Решение. Из формул (2) и (3)
$$
Pr=l_1l_2\sin\alpha.\tag{15}
$$
Из неравенства $(l_1-l_2)^2\ge0$ следует
$$
l_1l_2\le\dfrac{l_1^2+l_2^2}2,
$$
откуда, в силу (15), получаем искомое неравенство.
Если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то $\sin\alpha=1$, т. е. $Pr=l_1l_2$. Если ещё $l_1=l_2=l$ (т. е. для квадрата), то
$$
Pr=l^2=\dfrac{l_1^2+l_2^2}2.
$$
Задача 4. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $P_1$, $P_2$, $P_3$ и $P_4$ — периметры, соответственно, треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$, а $r_1$, $r_2$, $r_3$ и $r_4$ — радиусы вписанных в них окружностей.
Решение. С одной стороны, по формуле (3)
$$
S_{AOB}=\dfrac12P_1r_1.\tag{17}
$$
С другой стороны, по формуле (1)
$$
S_{AOB}=\dfrac12|OA|\cdot|OB|\sin\widehat{AOB}.\tag{18}
$$
Из (17) и (18)
$$
P_1r_1\le|OA|\cdot|OB|\tag{19}
$$
Аналогично,
$$
\begin{align*}
P_2r_2&\le|OB|\cdot|OC|,\tag{20}\\
P_3r_3&\le|OC|\cdot|OD|,\tag{21}\\
P_4r_4&\le|OD|\cdot|OA|.\tag{22}
\end{align*}
$$
Из (19)—(22) легко получается требуемое неравенство.
Равенство достигается, когда $[AC]\perp[BD]$. Из (16) и (13) легко получается неравенство:
$$
S_{AOB}\cdot S_{BOC}\cdot S_{COD}\cdot S_{DOA}\le\dfrac1{16}|OA|^2\cdot|OB|^2\cdot|OC|^2\cdot|OD|^2.
$$
Задача 5. Докажите, что для выпуклого четырёхугольника $ABCD$ справедливо неравенство
$$
S_{ABCD}\le\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}4,\tag{23}
$$
где $a$, $b$, $c$, $d$ — длины его сторон.
Рис. 3
Решение. Разобьём четырёхугольник диагональю на два треугольника (рис. 3). Тогда
$$
S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}.
$$
По формуле (1)
$$
S_{ABC}=\dfrac12ab\sin\widehat B.
$$
Отсюда и из неравенства $ab\le\dfrac{a^2+b^2}2$ получаем
$$
S_{ABC}\le\dfrac{a^2+b^2}4.\tag{24}
$$
Аналогично
$$
S_{ADC}\le\dfrac{c^2+d^2}4.\tag{25}
$$
Из (24) и (25) получаем требуемое неравенство.
Если $\widehat B=\widehat D=90^\circ$ и $a=b=c=d$, т. е. четырёхугольник $ABCD$ — квадрат, то соотношение (23) превращается в равенство.
В заключение — три задачи для самостоятельного решения.
Задача 6. Доказать, что для трапеции с высотой $h$, диагоналями $l_1$, $l_2$ и основаниями $a$, $b$
$$
h\le\dfrac{l_1l_2}{a+b}.
$$
Задача 7. Доказать, что для треугольника $ABC$
$$
S_{ABC}\lt\dfrac16(a^2+b^2+c^2),
$$
где$a$, $b$, $c$ — длины сторон.
Задача 8. Доказать, что для выпуклого четырёхугольника $ABCD$
$$
S_{ABCD}\lt\dfrac16(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2),
$$
где$a$, $b$, $c$, $d$ — длины сторон, $e$, $f$ — длины диагоналей.
