Рыжик В. И.

Где ошибка?Рыжик В. И. Где ошибка? // Квант. — 1979. — № 3. — С. 41.‍‍

В некоторой школе, в некотором (девятом) классе решалась

Задача. Найти наибольшее значение площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если площадь его основания равна 1, а длина диагонали равна 2.

Обозначим длины сторон основания через $a$‍‍ и $b$‍,‍ длину бокового ребра — через $c$‍.‍ Тогда площадь $Q$‍‍ боковой поверхности будет равна $2(a+b)c$‍.‍ Итак, для решения задачи нужно найти наибольшее значение выражения $$ Q=2(a+b)c.\tag1 $$ Из условия вытекает, что измерения параллелепипеда $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ связаны равенствами $$ \left\{\begin{array}{l} ab=1,\\ a^2+b^2+c^2=4. \end{array}\right.\tag*{\(\colsep{0pt}{\begin{array}{r} (2)\\(3)\end{array}}\)} $$

Запишем выражение (1) как функцию от одной переменной. В той школе, в том классе были предложены два способа для этого.

Первый способ. Из (2) $b=\dfrac1a$‍.‍ Тогда из (3) $c=\sqrt{4-a^2-\dfrac1{a^2}}$‍.‍ Значит, функция, наибольшее значение которой надо найти, имеет вид $$ Q(a)=2{\left(a+\dfrac1a\right)}\sqrt{4-a^2-\dfrac1{a^2}}.\tag4 $$ Как полагается, возьмём производную. Преобразовав её, получим $$ Q'(a)=-\dfrac{4(a-1)(a+1)(a^4-a^2+1)}{a^3\sqrt{-a^4+4a^2-1}}. $$ Областью определения функции $Q(a)$‍‍ является множество $$\textstyle \left[-\sqrt{2+\sqrt3};-\sqrt{2-\sqrt3}\right]\cup\left[\sqrt{2-\sqrt3};\sqrt{2+\sqrt3}\right]. $$ По смыслу обозначений $a\gt0$‍.‍ Таким образом, нужно найти наибольшее значение функции (4) на отрезке $\left[\sqrt{2-\sqrt3};\sqrt{2+\sqrt3}\right]$‍.‍ Обычным способом («Алгебра и начала анализа 9», п. 59) находим $$ \max Q(a)=Q(1)=4\sqrt2. $$

Второй способ. Из (2) и (3) легко следует $$ (a+b)^2+c^2=6\tag5 $$ или $$ a+b=\sqrt{6-c^2}.\tag6 $$ Из (1) и (6) получаем $$ Q(c)=2c\sqrt{6-c^2}.\tag7 $$ Опять возьмём производную: $$ Q'(c)=\dfrac{6-2c^2}{\sqrt{6-c^2}}. $$ Областью определения функции $Q(c)$‍‍ является отрезок $[-\sqrt6;\sqrt6]$‍.‍ По смыслу обозначений $c\gt0$‍.‍ Поэтому будем искать наибольшее значение функции (7) на промежутке $[0;\sqrt6]$‍.‍ Обычным способом находим $$ \max Q(c)=Q(\sqrt3)=6. $$

Оказалось, что, по-разному выбрав переменную, через которую мы выражаем целевую функцию (1), мы получили разные результаты.

В той школе, в том классе довольно быстро разобрались, в чём дело. А вы?