«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи М591, М594 и М595 предлагались на ХХI Международной олимпиаде.
Пусть $p$ и $q$ — натуральные числа такие, что $$ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}. $$ Докажите, что число $p$ делится на 1979.
Докажите, что для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна по длине третьей стороне.
Внутри окружности $\mathit\Gamma$ расположено $n$ кругов. Докажите, что длина границы объединения этих кругов не превосходит длину окружности $\mathit\Gamma$, если
Найдите все действительные числа $a$, для которых существуют действительные неотрицательные числа $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, удовлетворяющие соотношениям $$ \sum_{k=1}^5kx_k=a,\quad \sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2,\quad \sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3. $$
Пусть $A$ и $E$ — две противоположные вершины правильного восьмиугольника. В вершине $A$ находится лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины $E$, лягушка может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в вершину…
Текст задачи готовится
Множество всех натуральных чисел является объединением двух непересекающихся подмножеств $\{f(1),f(2),\ldots,f(n),\ldots\}$, $\{g(1),g(2),\ldots,g(n),\ldots\}$, где $f(1)\lt f(2)\lt\ldots\lt f(n)\lt\ldots$, $g(1)\lt g(2)\lt\ldots\lt g(n)\lt\ldots$ и $g(n)=f(f(n))+1$ для всех $n\ge1$. Определите $f(240)$.
Пусть $P$ — данная точка внутри данной сферы и $A$, $B$, $C$ — произвольные три точки этой сферы такие, что отрезки $PA$, $PB$, $PC$ взаимно перпендикулярны. Пусть $Q$ — вершина…
