Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1979. — № 11. — С. 40.
Через точку
$K$ внутри треугольника с длинами сторон$a$, $b$, $c$ проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Длины отрезков, заключённых между сторонами, равны, соответственно,$a_1$, $b_1$, $c_1$. Докажите, что- $$\dfrac{a_1}a+\dfrac{b_1}b+\dfrac{c_1}c=2;$$
- $$\dfrac43\le\dfrac{a_1^2}{a^2}+\dfrac{b_1^2}{b^2}+\dfrac{c_1^2}{c^2}\le2.$$
Через точку
$K$ внутри тетраэдра$ABCD$ с площадями граней$S_a$, $S_b$, $S_c$ и$S_d$ проведены четыре плоскости, параллельные граням тетраэдра. Площади полученных сечений равны соответственно$S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$. Докажите, что- $$\def\|#1{\smash{#1}\vphantom a} \sqrt{\dfrac{S_1}{S_{a}}}+\sqrt{\dfrac{S_2}{S_{\|b}}}+ \sqrt{\dfrac{S_3}{S_c}}+\sqrt{\dfrac{S_4}{S_{\|d}}}=3;$$
- $$\dfrac{S_1}{S_a}+\dfrac{S_2}{S_b}+\dfrac{S_3}{S_c}+\dfrac{S_4}{S_d}\ge\dfrac94.$$
Через точку
$K$ внутри тетраэдра проведены прямые, параллельные его рёбрам$|BC|=a$, $|AC|=b$, $|AB=c$, $|AD|=d_1$, $|BD|=d_2$, $|CD|=d_3$. Длины отрезков этих прямых, зaключённых между гранями, равны соответственно$a'$, $b'$, $c'$, $d_1'$, $d_2'$, $d_3'$. Докажите, что $$ \dfrac{a'}a+\dfrac{b'}b+\dfrac{c'}c+\dfrac{d_1'}{d_1}+\dfrac{d_2'}{d_2}+ \dfrac{d_3'}{d_3}=3. $$