«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В компании из $N$ человек у каждого ровно трое друзей.
Дан прямоугольный треугольник $A_0A_1A_2$ с катетами $|A_0A_2|=a$ и $|A_1A_2|=b$. Муравей ползёт по бесконечной ломаной $A_2A_3A_4A_5\ldots$, где $A_nA_{n+1}$ — высота треугольника $A_{n-2}A_{n-1}A_n$.
Пусть $$ \rho(x,y)=\dfrac{|x-y|}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\smash{y}\vphantom{x}^2}}. $$ Докажите, что для любых действительных чисел $a$, $b$, $c$ выполнено неравенство $$ \rho(a,c)\le\rho(a,b)+\rho(b,c). $$
Какое наибольшее число вершин, из которых нельзя провести ни одной диагонали (лежащей целиком внутри многоугольника) может иметь невыпуклый $n$—угольник? Решите эту задачу сначала для $n=4$, 5, 6, 7.
На плоскости задано $n$ точек. Нужно разместить в этих точках $n$ прожекторов, каждый из которых освещает угол величины $360^\circ /n$ так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если
а)…
Текст задачи готовится
Внутри квадрата со стороной 1 расположено $n^2$ точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая эти точки, длина которой меньше
Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трёхзначных чисел, или не представимых?
На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ взяты произвольные точки $A_1$, $B_1$, $C_1$; на отрезках $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ как на диаметрах…
Для каждого натурального $n\ge3$ укажите наименьшее $k$ такое, что любые $n$ точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно разделить $k$ прямыми. (Прямые разделяют данные точки, если для любых двух из этих…
Назовём число уравновешенным, если в его десятичной записи некоторое начало совпадает с некоторым концом (например, числа 1971, 19219 — уравновешены, а число 1415145 — нет). Докажите, что существует число, которое после приписывания к нему справа любой из 10 цифр становится…
