Текст статьиЗвонкин А. К. Анализ помогает алгебре // Квант. — 1978. — № 6. — С. 53—56.
Довольно часто алгебраическую задачу удаётся решить, подыскав и исследовав методами анализа какую-нибудь подходящую вспомогательную функцию. С такими задачами мы познакомимся на этом занятии математического кружка.
Пример 1. Сколько корней имеет уравнение
$$
x^3-3x=a?\tag1
$$
Решение. Как известно, существует формула для решения кубического уравнения («Квант», 1976, №9). Однако эта формула очень громоздка. Нельзя ли найти число корней уравнения, не решая его?
Рис. 1
Используя производную, нарисуем график функции $y=x^3-3x$ (рис. 1, а). На том же чертеже нарисуем график функции $y=a$, т. е. горизонтальную прямую (на рисунке 1, б изображено сразу несколько таких прямых — для разных значений $a$). Количество корней уравнения (1) есть просто количество точек пересечения нашего графика и прямой. Сразу бросается в глаза особая роль красных прямых. Если прямая $y=a$ лежит между красными прямыми, т. е. $|a|\lt2$, то она имеет с графиком функции $f(x)=x^3-3x$ три точки пересечения, если выше или ниже ($|a|\gt2$) — одну, сами же красные прямые ($|a|=2$) имеют с графиком две общие точки (одна из них — точка касания).
Задача 1. Сколько корней имеет уравнение
$$
3x^5-50x^3+135x=a?
$$
Задача 2. Сколько корней имеет уравнение
$$
x^2e^x=a?
$$
Пример 2. Сколько корней имеет уравнение
$$
a^x=x?\tag2
$$
Решение. Рассмотрим пять случаев взаимного расположения графиков $y=a^x$ и $y=x$ (рис. 2). Рисунок 2, а соответствует значениям $a\in(0,1)$, рисунок 2, б — значению $a=1$, остальные три рисунка (от рисунка 2, в к рисунку 2, д$a$ возрастает) — значениям $a\gt1$. Количество решений уравнения (2) в каждом из пяти случаев видно «невооружённым глазом». Единственное, что по существу осталось узнать, — при каком значении $a=a_0$ имеет место картинка 2, г, т. е. прямая $y=x$ касается кривой? Ответить на этот вопрос нам поможет производная.
Рис. 2
Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания $A$ (рис. 2, г). Тогда $f'(x_0)=a^{x_0}\ln a=1$. Кроме того, $a^{x_0}=x_0$. Получилась система
$$
\left\{\begin{array}{l}
a^x=x,\\
x^x\ln a=1.
\end{array}\right.
$$
Решим её. Для этого во второе уравнение вместо $a^x$ подставим $a$, получим $x=\dfrac1{\ln a}$. Полученное значение $x$ подставляем в первое уравнение: $a^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle\ln a}=\dfrac1{\ln a}$; логарифмируем и преобразуем:
$$
\dfrac1{\ln a}\cdot\ln a=\ln\left(\dfrac1{\ln a}\right)~\Leftrightarrow~1=-\ln(\ln a)~\Leftrightarrow~\ln a=\dfrac1e~\Leftrightarrow~a=e^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle e}}.
$$
Итак, $a_0=e^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle e}}$.
Задача 3. Сколько корней имеет уравнение
$$
a^x=\log_ax?
$$
Указание. На рисунке 3 изображены пять случаев взаимного расположения графиков $y=a^x$ и $y=\log_ax$. Для удобства пунктиром изображена также прямая $y=x$. Функции $a^x$ и $\log_ax$ взаимно обратны, поэтому их графики симметричны относительно этой прямой. Вам остаётся лишь найти значения $a_1$ и $a_2$.
Рис. 3
Заметим, кстати, что рисунок 3, а изображён на обложке учебника «Алгебра 8» (при $a=10$). Особенно интересным нам кажется случай, изображённый на рисунке 3, д. Такая картинка получается, например, при $a=\dfrac1{16}$.
Упражнение. Для $a=\dfrac1{16}$ найдите координаты точек перессчения.
Пример 3. При каких значениях $a$ существует такое положительное $b$, что уравнение
$$
x^2+a=2b\cdot\ln x\tag3
$$
имеет единственный корень?
Решение. Как всегда, начнём с картинки. На рисунке 4 изображены три случая взаимного расположения графиков $y=x^2+a$ и $y=2b\cdot\ln x$ (для $b\gt0$). Ясно, что уравнение (3) имеет единственный корень тогда и только тогда, когда эти графики касаются (рис. 4, б). В точке касания совпадают не только значения самих функций $f(x)=x^2+a$ и $g(x)=2b\cdot\ln x$, но н значения их производных $f'(x)=2x$ и $g'(x)=\dfrac{2b}x$. Получилась система:
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+a=2b\cdot\ln x,\\[6pt]
2x=\dfrac{2b}x.
\end{array}\right.
$$
Из второго уравнения этой системы находим $x=\pm\sqrt b$ (напомним, что по предположению $b\gt0$). Значение $x=-\sqrt b$ системе не удовлетворяет, так как $\ln x$ при $x=-\sqrt b$ не определён. Подставляя полученное значение $x$ в первое уравнение, получаем
$$
a=b\cdot\ln b-b.\tag4
$$
Таким образом, графики $y=x^2+a$ и $y=2b\cdot\ln x$ касаются, если и только если выполнено условие (4); при этом касание происходит в точке с абсциссой $x=\sqrt b$.
Рис. 4
Задача свелась к выяснению следующего вопроса: при каких значениях $a$ существует такое $b$, что выполняется равенство$a=b\cdot\ln b-b$? Ещё одна, эквивалентная, формулировка: найти множество значений функции$f(b)=b\cdot\ln b-b$.
Контрольный вопрос: почему мы опустили требование положительности $b$?
На координатной плоскости $Oba$ нарисуем график функции $b\to b\cdot\ln b-b$ (рис. 5). Теперь ответ на поставленный вопрос «почти ясен»: нужное значение $b$ существует при $a\ge a_0$ (значений может быть и два!). Значение $a_0$ находим из уравнения $f'(b)=0$. Поскольку $f'(b)=\ln b$, $b_0=1$.
Таким образом, $a_0=f(b_0)=-1$.
Рис. 5
Контрольный вопрос. Как видно из рисунка 5, если $a$ принадлежит интервалу $(-1,0)$, то ему соответствуют два значения $b$. Что это означает для графиков $y=x^2+a$ и $y=2b\cdot\ln x$? Нарисуйте.
Иногда знание количества корней помогает решить уравнение. Например, если известно, что некоторое уравнение имеет ровно один корень, можно попробовать просто угадать его.
Пример 4. Решить уравнение
$$
\cos x=1-\dfrac{x^2}2.
$$
Решение. Один из корней этого уравнения легко угадывается: $x=0$. Есть ли ещё корни? Обратимся к графику (рис. 6). Вблизи точки $x=0$ графики функций $y=\cos x$ и $y=1-\dfrac{x^2}2$ так похожи друг на друга, что без дополнительного исследования невозможно понять, какой из рисунков, 6, а или 6, б, — правильный. Попробуем доказать, что для всех $x\ne0$ справедливо неравенство $\cos x\gt1-\dfrac{x^2}2$ (т. е. равенство невозможно).
Рис. 6
Пусть $f(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}2$. Эта функция чётна (т. е. $f(x)=f(-x)$), поэтому рассмотрим только положительные значения $x$. Поскольку $f(0)=0$, для доказательства неравенства $f(x)\gt0$ при $x\gt0$ достаточно установить, что $f$ возрастает на полупрямой $(0,+\infty)$. Учитывая, что $f$ непрерывна при $x=0$, достаточно установить, что $f'(x)\gt0$ при $x\gt0$ («Алгебра и начала анализа 9», п. 54). Поскольку $f'(x)=x-\sin x$, неравенство $f'(x)\gt0$ равносильно неравенству $\sin x\lt x$, которое при $x\gt0$ очевидно.
Последний пример, который мы рассмотрим, касается обобщения неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим.
Легко доказать, что при $x\gt0$, $y\gt0$ имеет место $\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}2$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y$. Запишем это неравенство в таком виде:
$$
x^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle2}}\cdot y^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle2}}\le\dfrac12x+\dfrac12y.
$$
Напрашивается следующее обобщение:
Пример 5. Пусть положительные числа $a$ и $b$ таковы, что $a+b=1$. Доказать, что для всех $x\gt0$, $y\gt0$ справедливо неравенство
$$
x^ay^b\le ax+by,\tag9
$$
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y$.
Решение. Произведём следующие равносильные преобразования неравенства (5): заменим $b$ на $1-a$, перенесём все члены в одну часть и поделим обе части на $y$ (поскольку $y\gt0$, знак неравенства сохранится). Мы получим неравенство
$$
a\cdot\dfrac xy-\left(\dfrac xy\right)^a+1-a\ge0.
$$
Обозначим $\dfrac xy=t$; заметим, что $t\gt0$. Осталось доказать, что при $t\gt0$ и $a\in(0,1)$ имеет место неравенство
$$
at-t^a+1-a\ge0,
$$
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $t=1$. Это доказательство мы оставим в виде упражнения читателю. (Указание. Функция $at-t^a+1-a$ при $t=1$ имеет минимум.)
Задача 4. Сколько корней имеет уравнение
$e^x=ax$?
$3x^4+4x^3-36x^2=a$?
$\dfrac x{\ln x}=a$?
Задача 5. Решить (одно уравнение с двумя неизвестными):
$\dfrac1x+2\sqrt x=3y(1-\ln y)$;
$\dfrac{\ln x}x=e^{\cos y}$;
$4^x+1=2^{x+1}\cdot\sin y$.
Задача 6. Нарисовать на плоскости $(p,q)$ множества значений $(p,q)$, при которых уравнения
$x^3=3p^2x+q$,
$p^x=x^q$ ($x\gt0$)
имеют 0, 1, 2, $\ldots$ решений относительно $x$.
Задача 7. Решить уравнения
$\ln x=x-1$;
$(x-1)e^x+x^2-3x+2=0$;
$\sin x=x-\dfrac16x^3$.
Задача 8. Определить (без помощи таблиц), какое число больше: $e^\pi$ или $\pi^e$.
Указание. Покажите, что наибольшее значение одной из функций совпадает с наименьшим значением другой.
Красная область соответствует одному корню, синяя — трём корням, линии $q=\pm2p^3$, $p\gt0$, — двум корням. Точка $(0;0)$ относится к красной области (рис. 1).
Синяя область — 1 корень, красная — 2 корня, серая — 0 корней; граничные линии $p=1$, $q=0$, $q=e\ln p$ — 1 корень, точка $(1,0)$ — бесконечное множество корней (рис. 2).
Рис. 1Рис. 2
1;
1;
0.
$e^\pi$ больше. Указание: исследовать на экстремум функцию $\dfrac{\log_ax}x$.
МетаданныеЗвонкин А. К. Анализ помогает алгебре // Квант. — 1978. — № 6. — С. 53—56.
