Савин А. П.

[Задача с XIX Международной математической олимпиады]Савин А. П. [Задача с XIX Международной математической олимпиады] // Квант. — 1978. — № 4. — С. Обложка (с. 4).‍‍

Великий норвежский математик Нильс Хенрик Абель как-то сказал, что «геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах». Действительно, сделать абсолютно правильный чертёж невозможно. Более того, если речь идёт, скажем, о произвольном треугольнике, а вы нарисовали его равнобедренным или прямоугольным, то это может натолкнуть вас на решение, годящееся только для частного случая.

Однако если речь идёт о фигуре с заранее заданными свойствами, то нужно постараться сделать чертёж поточнее. Чётко выполненный чертёж зачастую подсказывает идею решения задачи.

Рисунок

Здесь приведён чертёж к следующей задаче, предлагавшейся на ХIХ Международной математической олимпиаде:

Внутри данного квадрата $ABCD$‍‍ построены равносторонние треугольники $ABK$‍,‍ $BCL$‍,‍ $CDM$‍,‍ $DAN$‍.‍

Доказать, что середины четырёх отрезков $KL$‍,‍ $LM$‍,‍ $MN$‍‍ и $MK$‍‍ вместе с серединами восьми отрезков $AK$‍.‍ $KB$‍,‍ $BL$‍,‍ $LC$‍,‍ $CM$‍,‍ $MD$‍,‍ $DN$‍‍ и $NA$‍‍ являются вершинами правильного двенадцатиугольника.

(Одно из её решений можно прочесть в «Кванте» № 2 за этот год.)

Постарайтесь, глядя на чертёж, решить её в уме.