«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — действительные числа, $0\le x_i\le1$. Докажите, что величина $$ x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}+x_n-x_1x_2-x_2x_3-\ldots-x_{n-1}x_n-x_nx_1 $$ не превосходит
На каждой клетке шахматной доски стоит по фишке (рис. 1). Фишки нужно переставить так, чтобы расстояние между каждой парой фишек не уменьшилось по сравнению с расстоянием между ними при первоначальном расположении. Сколькими способами это можно сделать? (Расстоянием между фишками считается…
На прямоугольном листе бумаги в клетку некоторые клетки закрашены в чёрный цвет. Затем происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: клетка, имевшая чётное число чёрных соседей, становится белой, а имевшая нечётное число чёрных соседей — чёрной. (Соседями…
Текст задачи готовится
Дан многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для каждого натурального $x$ выполняется неравенство $P(x)\gt x$. Определим последовательность $\{b_n\}$ следующим образом: $b_1=1$, $b_{k+1}=P(b_k)$ для $k\ge1$. Известно, что…
В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
Существуют ли
таких различных натуральных чисел, что для любых двух $a$ и $b$ из них сумма $a+b$ делится на разность $a-b$?
Поправка
В формулировку задачи М480, опубликованной в № 12 за 1977 г., вкралась ошибка. Задачу М480 в) следует читать так: последовательность $C_n$ определяется условиями $C_1=2$, $C_{n+1}=[3C_n/2]$ для $n\ge1$; докажите,…
В последовательности натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ каждый член $a_{k+1}$ равен сумме квадратов цифр в десятичной записи числа $a_k$ ($k\ge1$). Докажите, что при любом $a_1$ в этой…
а) Докажите, что отношение радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к сумме квадратов длин медиан, проведенных из острых углов, не превосходит $1/5$.
б) Найдите наибольшее значение, которое может принимать это отношение.
При каких $n$ существует выпуклый $n$-угольник, который можно разрезать на несколько правильных многоугольников (не обязательно одинаковых)?
