Задачник «Кванта» / Квант. — 1977. — № 9 / 1977 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 9. — С. 32—42, 59—61.

В этом номере «Задачник «Кванта» составлен в основном из задач, предлагавшихся на последней Всесоюзной олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М461‍—‍М465; Ф473‍—‍Ф477 Задачи М461—М465; Ф473—Ф477 // Квант. — 1977. — № 9. — С. 33—35.

Задача М461
На столе стоят чашечные весы и $n$‍‍ гирь различных масс. Гири по очереди ставятся на чашки весов (на каждом шаге со стола берётся любая гиря и добавляется на ту или другую чашку весов).
1. Докажите, что гири можно ставить в таком порядке, чтобы…
Задача М462
Плоскость пересекает боковые рёбра правильной четырёхугольной пирамиды в точках, отстоящих от вершины на расстояния $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и $d$‍‍ (рис. 1). Докажите, что $$\dfrac1a+\dfrac1c=\dfrac1b+\dfrac1d.$$
Задача М463
Даны натуральные числа $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_m$‍,‍ $y_1$‍,‍ $y_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $y_n$‍.‍ Суммы $x_1+x_2+\ldots+x_m$‍‍ и $y_1+y_2+\ldots+y_n$‍‍ равны между собой и меньше $mn$‍.‍ Докажите, что в…
Задача М464
На плоскости дано 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть $M$‍‍ — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества $M$‍‍ попала не менее, чем в один и не более, чем в четыре…
Задача М465
Имеется тысяча билетов с номерами 000, 001, $\ldots$‍,‍ 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, $\ldots$‍,‍ 99. Билет разрешается опускать в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычёркиванием одной из цифр. Докажите, что
Задача Ф473
Текст задачи готовится
Задача Ф474
Текст задачи готовится
Задача Ф475
Текст задачи готовится
Задача Ф476
Текст задачи готовится
Задача Ф477
Текст задачи готовится

Решения задач М421‍—‍М425; Ф432‍—‍Ф437 Решения задач М421—М425; Ф432—Ф437 // Квант. — 1977. — № 9. — С. 35—42.

Задача Ф432
Текст задачи готовится
Задача М421
При каких натуральных $m$‍‍ и $n$‍‍ ($m\lt n$‍)‍ можно закрасить некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в чёрный цвет так, чтобы любой прямоугольник размера $m\times n$‍‍ содержал ровно одну чёрную клетку? Начните с более простой задачи:…
Задача М422
Разбейте произвольный треугольник на семь равнобедренных треугольников, из которых три конгруэнтны между собой.
Задача М423
Докажите, что для любых действительных $x$‍,‍ $y$‍‍ и $z$‍‍ выполнено неравенство $$ (x^2+y^2-z^2)(x^2+z^2-y^2)(y^2+z^2-x^2)\le(x+y-z)^2(x+z-y)^2(y+z-x)^2. $$
Задача М424
Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около противоположной грани, и перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти четыре плоскости пересекаются в одной точке.
Задача М425
Существует ли такое натуральное $N$‍,‍ что каждое рациональное число между нулём и единицей представляется в виде суммы $N$‍‍ чисел, обратных натуральным?
Задача Ф433
Текст задачи готовится
Задача Ф434
Текст задачи готовится
Задача Ф435
Текст задачи готовится
Задача Ф436
Текст задачи готовится
Задача Ф437
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 9. — С. 32—42, 59—61.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1977
Номер: 9
Страницы: 32—42, 59—61
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 9. — С. 32‍—‍42, 59‍—‍61.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1977/9/zadachnik_kvanta-9c3fa52e/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1977, № 9)Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 9. — С. 32‍—‍42, 59‍—‍61.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 9. — С. 32—42, 59—61.

Задачи М461‍—‍М465; Ф473‍—‍Ф477 Задачи М461—М465; Ф473—Ф477 // Квант. — 1977. — № 9. — С. 33—35.

Решения задач М421‍—‍М425; Ф432‍—‍Ф437 Решения задач М421—М425; Ф432—Ф437 // Квант. — 1977. — № 9. — С. 35—42.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 9. — С. 32—42, 59—61.