Текст статьиЖаутыков О. А. Кривые второго порядка // Квант. — 1977. — № 8. — С. 22—26.
Кривой второго порядка называют график уравнения второй степени с двумя неизвестными
$$
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,\tag1
$$
где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F\in\R$. Обозначим многочлен в левой части уравнения (1) через $f(x,y)$. Тогда точка $M(x_0;y_0)$ принадлежит графику уравнения (1), если $f(x_0,y_0)=0$ (см. «Алгебра 6», п. 54).
Основная наша задача — научиться определять вид этого графика по коэффициентам $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$.
Будем считать, что $A$, $B$, $C$ не обращаются одновременно в нуль (если $A=B=C=0$, то получается кривая первого порядка — график линейного уравнения $Dx+Ey+F=0$).
Мы изберём следующий план: сначала изучим несколько простых частных случаев — когда некоторые коэффициенты уравнения (1) обращаются в нуль, а потом научимся параллельными переносами и поворотами получать график уравнения (1) из этих частных случаев.
Частные случаи
Случаи эти таковы (все коэффициенты при выписываемых членах, кроме, быть может, $F$, отличны от нуля):
$$
\begin{align*}
&Ax^2+Ey=0,\tag{2а}\\
&Cy^2+Dx=0,\tag{2б}\\
&Ax^2+Cy^2+F=0,\tag{3}\\
&Ax^2+F=0,\tag{4а}\\
&Cy^2+F=0.\tag{4б}
\end{align*}
$$
Параболы. Перепишем уравнения (2а) и (2б) так:
$$
\begin{align*}
y&=\dfrac{-A}Ex^2,\tag{5а}\\
x&=\dfrac{-C}Dy^2.\tag{5б}
\end{align*}
$$
Графиком уравнения (5а) является парабола (см. «Алгебра 6», п. 24 и статью И. Н. Бронштейна «Парабола» в «Кванте», 1975, №4). Легко понять, что уравнение (5б) тоже определяет параболу — она получается при отражении параболы $y=-\dfrac CDx^2$ относительно биссектрисы первого координатного угла (см. рис. 1).
Рис. 1
Окружность, эллипс, гипербола, начало координат, пара прямых или пустое множество. Всё это может быть графиком уравнения (3).
Действительно, если $A=C$ ($\ne0$), то уравнение (3) можно переписать в виде
$$
x^2+y^2=\dfrac{-F}A.\tag{6а}
$$
Если $\dfrac{-F}A\gt0$, то уравнение (6а) задаёт окружность радиуса $\sqrt{\dfrac{-F}A}$ (рис. 2). Если $\dfrac{-F}A=0$, то уравнению (6а) удовлетворяет лишь пара $x=0$, $y=0$, и графиком является начало координат. Если же $\dfrac{-F}A\lt0$, то уравнение (6а) решений не имеет, его график — пустое множество.
Рис. 2
Пусть теперь $A\ne C$. Тогда если $A$ и $C$ одного знака (т. е. если $\dfrac CA\gt0$), то графиком уравнения (3), которое можно переписать в виде
$$
x^2+\dfrac CAy^2=\dfrac{-F}A,\tag{6б}
$$
является эллипс, если $\dfrac{-F}A\gt0$ (см. рис. 3 и статью И. Н. Бронштейна «Эллипс» в «Кванте», 1975, №1), начало координат, если $\dfrac{-F}A=0$, и пустое множество, если $\dfrac{-F}A\lt0$.
Рис. 3
Если же $A$ и $C$ разных знаков (т. е. если $\dfrac CA\lt0$), то уравнение (6б) при $F\ne0$ определяет гиперболу (см. статью И. Н. Бронштейна «Гипербола» в «Кванте», 1975, №3), а при $F=0$ — пару прямых (рис. 4)
$$
x+\sqrt{\dfrac{-C}A}\,y=0,\quad x-\sqrt{\dfrac{-C}A}\,y=0
$$
(см. «Алгебра 6», п. 21; эти уравнения легко привести к виду $y=kx$).
Рис. 4
Прямые или пустое множество. В уравнениях (4а) и (4б) надо рассмотреть три случая: $F=0$, $\dfrac FA\gt0$ (или $\dfrac FC\gt0$) и $\dfrac FA\lt0$ (или $\dfrac FC\lt0$).
Если $F=0$, то (4а) превращается в уравнение $x=0$, график которого — ось $Oy$, а (4б) даёт $x=0$ — это ось $Ox$.
Если числа $F$ и $A$ (или $F$ и $C$) разных знаков, то уравнения (4) дают каждое пару прямых, параллельных оси $Oy$:
$$
x=\pm\sqrt{\dfrac{-F}A}
$$
или оси $Ox$
$$
y=\pm\sqrt{\dfrac{-F}C}.
$$
Если же числа $F$ и $A$ (или $F$ и $C$) одного знака, то график уравнения (4а) (и (4б)) — пустое множество.
Перемещения
Это — преобразования, которые переводят фигуру в конгруэнтную ей фигуру. Стало быть, прямая в результате перемещения останется прямой, парабола — параболой, гипербола — гиперболой. А вот уравнения этих линий изменятся (но по-прежнему будут уравнениями второй степени), и этим можно воспользоваться для упрощения уравнения — скажем, подобрать перенос, после которого в уравнении исчезнет член $Dx$, или поворот, аннулирующий $Bxy$. Переносами и поворотами мы и ограничимся.
Рис. 5
Параллельный перенос. Пусть при параллельном переносе $\overrightarrow{r}(a;b)$ точка $M(x;y)$ переходит в точку $M'(u;v)$. Тогда $x+a=u$, $y+b=v$ (рис. 5), поэтому
$$
x=u-a,\quad y=v-b.\tag7
$$
Если координаты точки $M$ удовлетворяют уравнению $f(x,y)=0$, то координаты точки $N'(u;v)$ удовлетворяют уравнению
$$
g(u,v)=f(u-a,v-b)=0,
$$
т. е. при переносе $\overrightarrow{r}(a;b)$ график уравнения $f(x,y)=0$ отображается в график уравнения (в переменных $x$, $y$)
$$
gx,y)=f(x-a,y-b)=0.
$$
Обратный перенос $\overrightarrow{r'}(-a;-b)$ отображает график уравнения $g(x,y)=0$ в график уравнения $f(x,y)=0$.
В учебнике «Алгебра и начала анализа 10» (п. 9*) доказывается, что при переносе $\overrightarrow{r}(a;b)$ график функции $y=f(x)$ отображается в график функции $y=f(x-a)+b$. Этот факт легко получается из доказанного нами свойства переносов (при этом выясняется, почему $a$ входит в последнюю формулу со знаком «минус», а $b$ — со знаком «плюс»). График функции $y=f(x)$ совпадает с графиком уравнения $g(x,y)=y-f(x)=0$. При переносе $\overrightarrow{r}(a;b)$ из графика уравнения $g(x,y)=0$ получается график уравнения $g(x-a,y-b)=0$, т. е. уравнения $(y-b)-f(x-a)=0$, или функции $y=f(x-a)+b$.
Рис. 6
Повороты. Рассмотрим поворот с центром $O(0;0)$ на угол $\beta$ в положительном направлении (против часовой стрелки). При таком повороте $R_O^\beta$ точка $M(x;y)$ отобразится в точку $M'(u;b)$. Попробуем связать $u$, $v$ и $x$, $y$. Пусть $|OM|=r$ и точка $M(x;y)$ получается из точки $K(r;0)$ на оси $Ox$ поворотом на угол $\alpha$ (рис. 6). Тогда (см. «Алгебра и начала анализа 9», § 14, п. 70, 71) $x=r\cos\alpha$, $y=r\sin\alpha$. Но точка $M'(u;v)$ получается из точки $K(r;0)$ поворотом на угол $\alpha+\beta$, поэтому $u=r\cos(\alpha+\beta)$, $v=r\sin(\alpha-\beta)$. Поскольку
$$
\begin{aligned}
\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\
\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,
\end{aligned}
$$
мы получаем:
$$
\begin{alignedat}{2}
u&=r\cos(\alpha+\beta)&&=x\cos\beta-y\sin\beta,\\
v&=r\sin(\alpha+\beta)&&=x\sin\beta+y\cos\beta
\end{alignedat}
$$
При обратном повороте $R_O^{-\beta}$ точка $M'(u;v)$ отображается в точку $M(x;y)$, поэтому
$$
\begin{alignedat}{2}
x&=u\cos(-\beta)-v\sin(-\beta)&&=\hphantom-u\cos\beta+v\sin\beta,\\
y&=u\sin(-\beta)+v\cos(-\beta)&&=-u\sin\beta+v\cos\beta.
\end{alignedat}\tag*{\(\Bigg\}\)(8)}
$$
Если координаты точки $M(x;y)$ удовлетворяют уравнению $f(x,y)=0$, то координаты точки $M'(u;v)$ должны удовлетворять уравнению
$$
g(u,v)=f(u\cos\beta+v\sin\beta,-u\sin\beta+v\cos\beta)=0,
$$
т. е. при повороте $R_O^\beta$ график уравнения $f(x,y)=0$ отображается в график уравнения (в переменных $x$, $y$)
$$
g(x,y)=f(x\cos\beta+y\sin\beta,-x\sin\beta+y\cos\beta)=0.
$$
Упрощение уравнения f(x, y) = 0
Вернёмся к общему уравнению (1) кривой второго порядка
$$
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.
$$
Попробуем поворотом избавиться от члена $Bxy$. Подставляя в уравнение $f(x,y)=0$ выражения $x$, $y$ через $u$, $v$ (формулы (8)), мы получим некоторое уравнение $g(u,v)=0$ второй степени. Выписывая члены, содержащие лишь $uv$, найдём $B'$ — новое значение коэффициента при произведении $uv$:
$$
B'=(A-C)\cdot2\sin\beta\cos\beta+B\cdot(\cos^2\beta-\sin^2\beta).
$$
Приравняем его к нулю:
$$
(A-C)\sin2\beta+B\cos2\beta=0
$$
и найдём $\beta$:
$$
\begin{alignedat}{2}
\tg2\beta&=\dfrac B{A-C}&\quad\text{при}\quad A&\ne C,\\
\cos2\beta&=0\quad(\beta=45^\circ)&\quad\text{при}\quad A&=C.
\end{alignedat}
$$
Итак, поворотом всегда можно избавиться от члена $Bxy$, т. е. привести уравнение (1) к виду
$$
Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\tag9
$$
Пример. Пусть дано уравнение
$$
7x^2+6\sqrt3xy+13y^2+4(\sqrt3-8)x-4(8\sqrt3+1)y+4=0.\tag{10}
$$
Здесь $A=7$, $B=6\sqrt3$, $C=13$, поэтому $\tg2\beta=\sqrt3$, $\beta=30^\circ$. Подставляя (по формулам (8)) в уравнение (10)
$$
x=\dfrac{\sqrt3}2u+\dfrac12v,\quad y=-\dfrac12u+\dfrac{\sqrt3}2v,
$$
получаем (проверьте!) уравнение
$$
4u^2+16v^2+8u-64v+4=0.
$$
Значит, график уравнения (10) получается из графика уравнения
$$
4x^2+16y^2+8x-64y+4=0\tag{11}
$$
поворотом $R_O^{-30^\circ}$.
Теперь воспользуемся переносами и попробуем свести уравнение (9) к ещё более простому — без членов $Dx$ и $Ey$. При переносе $\overrightarrow{r}(a;b)$ график уравнения $f(x,y)=0$ переходит в график уравнения $g(x,y)=0$, где $g(x;y)=f(x-a,y-b)$, т. е. уравнение (9) переходит в такое:
$$
A(x-a)^2+C(y-b)^2+D(x-a)+E(y-b)+F=0.
$$
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
$$
Ax^2+Cy^2+(D-2aA)x+(E-2bC)y+Aa^2+Cb^2-aD-bE+F=0.
$$
Приравнивая к нулю коэффициенты при $x$, $y$, приходим к уравнениям относительно $a$ и $b$:
$$
D-2aA=0,\quad E-2bC=0,
$$
откуда $a=\dfrac D{2A}$ (при $A\ne0$), $b=\dfrac E{2C}$ (при $C\ne0$).
Пример (продолжение). В уравнении (11) $A=4$, $C=16$, $D=8$, $E=-64$, $F=4$, поэтому $a=1$, $b=-2$, и перенос $\overrightarrow{r}(1;-2)$ переводит график уравнения (11) в график уравнения
$$
4x^2+16y^2-64=0,
$$
или $$
x^2+4y^2-16=0.
$$
А это — уравнение вида (3), оно задаёт эллипс
$$
\left(\dfrac x4\right)^2+\left(\dfrac y2\right)^2=1.
$$
Поэтому график уравнения (10) является эллипсом и получается из найденного нами эллипса переносом $\overrightarrow{r}(-1;2)$ и затем поворотом $R_O^{-30^\circ}$.
Итак, если $A\ne0$ и $B\ne0$, то можно избавиться от членов $Dx$ и $Ey$. Если же $A=0$ (или $C=0$), то член $Dx$ (или $Ey$) останется, но тогда если $D\ne0$ (или $E\ne0$), то можно аннулировать $F$ переносом: $\overrightarrow{r}{\left(\dfrac FD;0\right)}$ (или $\overrightarrow{r}{\left(0;\dfrac FE\right)}$).
Таким образом, мы научились сводить уравнение $f(x,y)=0$ второй степени к одному из следующих видов:
$$
\def\a#1{\mathrlap{#1}\hphantom{A=0{,}~~C=0{,}~~D=0}}
\def\b#1{\mathrlap{#1}\hphantom{Ax^2+Cy^2+F=0}}
\begin{array}{|c|c|}\hline
\text{вид уравнения (9)}&\text{результат переноса}\vphantom{\dfrac00}\\\hline\\[-6pt]
\a{A\ne0{,}~~C\ne0}&\b{Ax^2+Cy^2+F=0}\\
\a{A\ne0{,}~~C=0{,}~~E\ne0}&\b{Ax^2+Ey=0}\\
\a{A\ne0{,}~~C=0{,}~~E=0}&\b{Ax^2+F=0}\\
\a{A=0{,}~~C\ne0{,}~~D\ne0}&\b{Cy^2+Dx=0}\\
\a{A=0{,}~~C\ne0{,}~~D=0}&\b{Cy^2+F=0}\\[6pt]
\hline\end{array}
$$
А все написанные справа уравнения нами разобраны — это и есть частные случаи уравнения (1) (формулы (2)—(4)). Таким образом, мы решили поставленную задачу.
Заметим ещё, что уравнение (2б) можно привести к виду (2а), а уравнение (4б) — к виду (4а). Для этого надо произвести поворот $R_O^{90^\circ}$, при котором график уравнения $f(x,y)=0$ отображается в график уравнения $f(y,-x)=0$. Попробуйте это доказать, а также решить следующие задачи.
