Виленкин А. Н.

Число «пи» и теория вероятностейВиленкин А. Н. Число «пи» и теория вероятностей // Квант. — 1977. — № 5. — С. 43, Обложка.‍‍

Хотите экспериментально найти число $\pi$‍?‍ Попробуйте! Для этого нужна лишь коробка спичек и лист бумаги.

На листе бумаги проведите сетку параллельных прямых на расстоянии друг от друга, равном длине спички. Теперь случайным образом бросайте на лист бумаги спички (как на первой странице обложки этого номера журнала) и считайте число спичек, пересекающих линии сетки (можно и много раз бросать одну спичку). Разделив удвоенное общее число спичек на полученное число, вы и найдёте число $\pi$‍‍ (чем больше спичек вы бросите, тем точнее найдёте число $\pi$‍).‍

Доказать это можно с помощью теории вероятностей. Если спичка длины 1 упала под углом $\pi$‍‍ к линиям сетки, то её «эффективная длина» равна $\sin\phi$‍.‍ Пусть некоторая спичка пересекла линию сетки, тогда её нижний конец находится на расстоянии не больше $\sin\phi$‍‍ от проходящей над ним линии сетки (см. рисунок). Вообще же это расстояние заключено в пределах от 0 до 1. По правилам теории вероятностей эта спичка пересекает линию сетки с вероятностью $\sin\phi$‍.‍

Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайным образом упавшая спичка пересечёт линию сетки, надо усреднить полученную вероятность $\sin\phi$‍‍ по всем $\phi$‍‍ $\left(0\le\phi\le\dfrac\pi2\right)$‍,‍ поскольку все значения углов $\phi$‍‍ равновероятны, т. е. найти значение выражения $$ \textstyle\int\limits_0^{\textstyle\frac\pi2}\sin\phi\,d\phi $$ и разделить его на $\dfrac\pi2$‍.‍

Десятиклассники быстро найдут, что интеграл равен 1, т. е. как раз $\dfrac2\pi$‍‍ часть спичек должна пересечь линии сетки.

Впервые такой эксперимент произвёл с иглой (бросая её много раз) французский естествоиспытатель Ж. Л. Л. Бюффон (1707⁠—⁠1788), в его честь этот опыт назван «иглой Бюффона». В конце XIX века многие математики бросали иглу по 3⁠—⁠5 тысяч раз и получали для $\pi$‍‍ значение порядка 3,15. Интересно, какое значение $\pi$‍‍ даст вам один коробок спичек?