Текст статьиСмышляев В. К. Сообщающиеся сосуды и... уравнения // Квант. — 1977. — № 5. — С. 19.
Кубическое уравнение вида
$$
y^3+ay^2+by+c=0
$$
простым преобразованием можно привести к уравнению без квадратного члена, т. е. к уравнению
$$
x^3+px+q=0.
$$
Для этого достаточно положить $y=x-\dfrac a3$.
Рассмотрим частный случай последнего уравнения, когда $p\ge0$, а $q\lt0$. Сделаем ещё одну замену: пусть $x=y\sqrt p$. Получим уравнение вида
$$
y^3+y=a,\tag{*}
$$
где $a=\dfrac{-q}{p\sqrt p}$ ($a\gt0$). Найдём положительный корень этого уравнения.
Возьмём два сосуда одной и той же высоты $h$ (см. рисунок): один — цилиндрический с площадью основания 1 см$^2$, другой — конический с объёмом $h^3$ $\left(\dfrac hr=\sqrt{\dfrac\pi3}\right)$. Соединим их тонкой трубкой с краном. Нальём в один из сосудов $a$ см$^3$ воды и откроем кран. Вода будет перетекать во второй сосуд до тех пор, пока уровни воды в обоих сосудах не станут одинаковыми. Обозначим через $y_0$ высоту уровня воды. При этом объём воды в цилиндрическом сосуде будет численно равен $y_0$ в коническом сосуде — $y_0^3$, а суммарный объём воды равен $a$. Следовательно,
$$
y_0^3+y_0=a
$$
(объёмом воды в соединительной трубке мы пренебрегаем). Значит, $y_0$ — один из корней уравнения (*).
