А. Р.

Неравенства и... вероятностьА. Р. Неравенства и... вероятность // Квант. — 1977. — № 5. — С. 56.‍‍

Следующая задача была предложена венгерской командой советской команде на одной из международных олимпиад: если $p+q=1$‍,‍ $0\lt p\lt1$‍,‍ $m$‍,‍ $n$‍‍ — натуральные числа, большие 1, то $$ (1-p^m)^n+(1-q^n)^m\gt1. $$

Эта задача с трудом поддаётся алгебраическому исследованию. Но, оказывается, её можно просто и красиво решить с помощью теории вероятностей.

Пусть имеется таблица из $n$‍‍ строк и $m$‍‍ столбцов; в каждую клетку ставится либо 0, либо 1, причём вероятность того, что ставится 0, равна $p$‍‍ (тогда 1 ставится с вероятностью $q$‍).‍ Ясно, что $1-p^m$‍‍ — это вероятность того, что в некоторой фиксированной строке стоит хотя бы одна единица, а $(1-p^m)^n$‍‍ — того, что в каждой строке стоит хотя бы одна единица. Аналогично $(1-q^n)^m$‍‍ — вероятность того, что в каждом столбце стоит хотя бы один нуль. Одно из этих событий наверняка произойдёт (если найдётся строка из нулей, и столбец из единиц, то что же стоит на их пересечении?). Поэтому сумма вероятностей этих событий не меньше 1 (проверьте, что при $m\gt1$‍,‍ $n\gt1$‍‍ эта сумма должна быть больше 1).

Ну, а если не знать, что такое вероятность? Оказывается, легко перевести это решение на язык комбинаторики. Для этого нужно рассмотреть случай, когда $p=\dfrac rs$‍‍ — рациональное число. Для каждой клетки таблицы возьмём запас цифр из $r$‍‍ нулей и $s-r$‍‍ единиц и будем составлять всевозможные заполненные таблицы. Вероятность заменяется на число таблиц, а фраза «одно из этих событий наверняка произойдёт» — на «объединение двух этих множеств таблиц есть всё множество». Подумайте, как избавиться от предположения, что $p$‍‍ — рационально.

А теперь решите такие задачи-обобщения.

1. Пусть $0\lt p_{ij}\lt1$‍‍ ($1\le i\le m$‍,‍ $1\le j\le n$‍),‍ а $q_{ij}=1-p_{ij}$‍.‍ Тогда $$ \begin{gather*} (1-p_{11}\ldots p_{1m})(1-p_{21}\ldots p_{2m})\ldots(1-p_{n1}\ldots p_{nm})+{}\qquad\\ \qquad{}+(1-q_{11}\ldots q_{1m})(1-q_{21}\ldots q_{2m})\ldots(1-q_{n1}\ldots q_{nm})\ge1, \end{gather*} $$ где $m\ge1$‍,‍ $n\ge1$‍.‍
2. Пусть $0\lt p_i\lt1$‍‍ ($i=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ $k$‍),‍ $p_1+\ldots+p_k=1$‍,‍ $m_i$‍‍ — натуральные числа. Тогда $$ (1-(p_2+\ldots+p_k)^{m_2\ldots m_k})^{m_1}+\ldots+(1-(p_1+\ldots+p_{k-1})^{m_1\ldots m_{k-1}})^{m_k}\ge1 $$ («многомерное» обобщение).