Текст статьиБерезин В. Н. Дельтоида // Квант. — 1977. — № 3. — С. Обложка (с. 2), 19.
Здесь вы видите один из способов построения замечательной кривой — дельтоиды. Иногда её называют кривой Штейнера по имени выдающегося немецкого геометра девятнадцатого века Якоба Штейнера.Рис. 1Рис. 2Рис. 3
Кривую, изображённую на второй странице обложки, часто называют
дельтоидой из-за её сходства с буквой $\Delta$ греческого алфавита. Её свойства впервые изучались Леонардом Эйлером в XVIII веке и Якобом Штейнером
в ХIХ веке. Дельтоида здесь задана как кривая, касающаяся каждой из прямых
семейства, которое строится так. Проекции любой точки окружности, описанной
около произвольного треугольника, на его стороны (или их продолжения) лежат
на одной прямой (докажите). Это прямая
Симсона. Семейство состоит из прямых Симсона, построенных для «красного» треугольника.
Рассмотрим ещё одно определение дельтоиды. Если окружность катится без скольжения внутри другой окружности, то кривая, описанная фиксированной
точкой подвижной окружности, называется гипоциклоидой. Дельтоида —
гипоциклоида, для которой отношение радиусов этих окружностей равно $1:3$.
Пусть сначала точка $M$ меньшей окружности, за траекторией которой мы будем следить, находится в точке $V$ большей (рис. 1). Затем подвижная
окружность прокатилась по дуге $VU$ неподвижной; положим
$\widehat{VOU}=\varphi$. Покажем, что касательная к дельтоиде в точке $M$
проходит через точку $P$ пересечения $OU$ с подвижной окружностью, и посмотрим, на какой угол повернулась касательная из начального положения
$OV$.
Скорость $\overrightarrow{v}$ точки $M$ равна
$\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$, где $\overrightarrow{v_1}\perp OU$, $\overrightarrow{v_2}\perp MO'$ и $|\overrightarrow{v_1}|=|\overrightarrow{v_2}|$. Параллелограм скоростей —
ромб, и $\overrightarrow{v}$ — его диагональ,
$\widehat{MO'U}=3\varphi$ и $\widehat{MPU}=\dfrac32\varphi$.
Пусть $P'$ — точка пересечения касательной к дельтоиде с прямой $OU$.
Нетрудно сосчитать: $\widehat{MP'U}=\dfrac32\varphi=\widehat{MPU}$.
Точки $P$ и $P'$ совпадают, касательная проходит через $P$ и угол $OWP$
равен $\dfrac32\varphi$.
Наметим путь доказательства эквивалентности приведённых определений.
Эйлер установил, что девять точек произвольного треугольника: основания его высот, медиан и середины отрезков от вершин до пересечения высот
(рис. 2) лежат на одной окружности (докажите). Её центром является
середина $O$ отрезка $HN$, где $H$ — точка пересечения высот, $N$ — центр
описанной окружности, а радиус — вдвое меньше радиуса описанной окружности
(докажите и это). Поэтому описанная окружность и окружность Эйлера
гомотетичны с центром $H$ и коэффициентом гомотетии 2.
Пусть $L$ — точка описанной окружности (рис. 3). Покажем, что её прямая Симсона проходит через середину отрезка $HL$, принадлежащую окружности
Эйлера. Для этого опустим из точки $L$ перпендикуляр на ближайшую сторону
треугольника и продолжим его до встречи с окружностью в точке $D$. Прямая
Симсона параллельна $BD$ (с одной стороны,
$\widehat{LCL_3}=\widehat{LL_2L_3}$, с другой,
$\widehat{LCL_3}=\widehat{BAL}=\widehat{BEL}=\widehat{DBE}$). По построению,
отрезок $LL_2$ конгруэнтен и параллелен $FG$ и $IH$ (точка пересечения высот
и точка $E$ симметричны относительно $AC$). Следовательно, точка $P$ лежит
на пересечении диагоналей $HL$ и $IL_2$, параллелограмма $LL_2HI$, и $|HP|=|PL|$.
Поскольку описанная окружность и окружность Эйлера гомотетичны
относительно точки $H$ с коэффициентом гомотетии, равным 2, точка $P$ лежит
на окружности Эйлера.
Если на рисунке 3 построить окружность Эйлера, то в ней можно узнать
окружность $(O,OP)$ с рисунка 1, а в прямой Симсона — касательную $WP$.
То, как поворачивается прямая Симсона, когда точка $L$ перемещается по описанной окружности, предоставляется разобрать читателю.
