Текст статьи Семёнов Е. Е. Стёпа Мошкин повторяет геометрию // Квант. — 1977. — № 10. — С. 51—55.
1. В чём ошибка? И есть ли она?
Давно уже Стёпа Мошкин не приходил домой таким расстроенным.
— Ты посмотри, папа, как я старался, — жаловался он отцу.— Вот ось симметрии — проведена чёрным цветом (см. рис. 1). Вот данный треугольник — синенький! А вот жёлтый треугольник — это образ данного треугольника в осевой симметрии. Всё в цвете, сделано аккуратно, как надо! А Пётр Иванович даже не посмотрел как следует, даже в руки не взял. Бросил взгляд и говорит: «Неверно! Плохо повторяешь геометрию. Придётся переделать!». А что тут переделывать, если всё сделано так старательно!
Отец не спеша, пережидая, пока сын немного успокоится, рассматривал его рисунок. Потом произнёс:
— Да, к сожалению, Пётр Иванович прав: плоховато ты повторил этот материал. Тут на самом деле есть ошибки.
— Какие же?! — воскликнул Стёпа.
— А ты сначала скажи, что такое осевая симметрия с осью
— Ну-у, это перемещение, в котором точки прямой
— Не продолжай, достаточно. Выполнено это условие на твоём чертеже?
Стёпа замер над чертежом в поисках ошибки.
Посмотрите и вы на рисунок. Видите маленький желтый треугольник, образовавшийся при пересечении прямых
Такие точки — остающиеся на месте в некотором отображении — называются неподвижными. Их часто можно использовать для построения образа фигуры.
2. Другое построение
Таня решила ту же задачу, что и Стёпа, иначе, и на следующем уроке Пётр Иванович предложил Стёпе, глядя на Танин рисунок (рис. 2), рассказать, как она выполняла построения. Стёпа сразу заметил, что Таня пользовалась циркулем и линейкой, причём точки
— При чём здесь окружность? — стал вслух размышлять Стёпа. — Окружность — это множество точек, находящихся на одном и том же расстоянии от данной точки. А расстояния... расстояния осевая симметрия сохраняет! Ага, Таня, наверное, использовала точки
3. Неподвижные точки помогают Стёпе
Вечером Стёпа рассказал папе о Танином способе построения образов точек в осевой симметрии, а затем сел делать уроки. Открыв тетрадь, он прочитал. «На дом — решить задачу 33» (см. «Геометрия 6», стр. 104). Вот она, эта задача.
Даны ось симметрии
Стёпа изобразил указанные элементы чёрным цветом (см. рис. 3) и задумался.
— Если бы воспользоваться угольником! Но нельзя. И циркуль также попал в число «запрещённых» инструментов. Можно пользоваться только одной линейкой. Как поступить?.. У Тани был один циркуль. Она проводила им окружности и находила образы точек как точки пересечения окружностей. У меня одна линейка. Тоже одна! И проводить я могу только прямые. Так, может, искать точку
Стёпа нарисовал синим цветом прямую
— Нужен образ ещё одной точки прямой
Стёпа провёл пунктиром прямую
— Где же на прямой
Стёпа ещё раз перечитал условие задачи. Нет, образов других точек нет. Впрочем, ...сказано «симметричные точки
Стёпа поскорее схватил красный карандаш и провёл прямую
Упоённый победой над непокорной было задачей, Стёпа закрыл тєтрадь. И в то же мгновение его что-то кольнуло: с задачей не всё ладно. Стёпа открыл тетрадь, посмотрел на рисунки и замер.
— А что, если прямые
Но, немного подумав, Стёпа успокоился. Он нашёл способ решения задачи и в этом случае.
Задачи
На рисунке 6 синим цветом изображены данные фигуры, а красным — их образы в осевой симметрии с осью
$l$. Имеются ли ошибки в этих построениях? Можете ли вы их обнаружить «с первого взгляда»?
Рис. 6 - Стёпа нашел способ решения задачи (№33) в случае, когда
$(AF)\parallel(A'E)$ или точка$E$ (или$F$) оказывается за пределами листа бумаги. А вы сможете это сделать? - Дана ось симметрии
$l$, пара симметричных точек$A$ и$A'$ и прямая$a$, параллельная$l$. Пользуясь одной линейкой, постройте образ прямой$a$.
4. Что за перемещение?.. Неизвестно... Но нужно ли это знать?
— Повторяя геометрию, Стёпа дошёл до пункта 20, написанного мелким шрифтом (см. «Геометрия 6», с. 48).
— Это не обязательно, — подумал он. Но из любопытства посмотрел на рисунок, а затем наугад прочёл.
«2. Любое сохраняющее расстояние отображение плоской фигуры
— Отображение фигуры
Стёпа задумался. Он долго ломал голову, пока, наконец, не произнёс:
— А может, это и не нужно знать? Достаточно знать, что перемещение, и всё? Ведь можно же воспользоваться свойствами перемещения вообще! При перемещении полуплоскость отображается на полуплоскость, прямая — на прямую. У меня
И Стёпа, сияя от догадки, закрасил искомую полуплоскость красным цветом.
— Победа! Но ещё неполная. А как построить образ квадрата?.. Квадрат не лежит в «синенькой» полуплоскости, значит, его образ не будет лежать в «красной» полуплоскости... Но как же его построить!? Что я могу? Могу построить образы точек
— Ну вот, ещё одно открытие! До чего же хороший инструмент — циркуль! — облегчённо вздохнул наш герой, и стал придумывать новые задачи.
Задачи
В некотором перемещении треугольник
$ABC$ отобразился на треугольник$A_1B_1C_1$. - Постройте фигуру, на которую отобразится в этом перемещении прямая
$a$ (рис. 8), круг$F$, квадрат$ACDE$, точка$A_1$, угол$KPT$. - Постройте образы окружности и полосы, изображённых на рисунке 9.
Рис. 8 
Рис. 9 - Постройте фигуру, на которую отобразится в этом перемещении прямая
- Дана равнобедренная трапеция. С помощью одной линейки постройте её ось симметрии.
Задан центр поворота
$O$ и угол поворота$\alpha$. Пользуясь одним циркулем, постройте образ произвольной точки$A$, если угол поворота равен:$60^\circ$; $120^\circ$.
- Задан центр симметрии
$O$. Как, пользуясь одним циркулем, построить точку, симметричную произвольной заданной точке$A$? Дан отрезок
$AB$. Пользуясь одним циркулем, постройте отрезок, имеющий в три раза большую длину.
Рис. 10 На листе клетчатой бумаги отмечены некоторые точки (см. рис. 10).
- В некотором перемещении треугольник
$ABC$ отобразился на треугольник$DEF$. Найдите образы точек$A$, $B$, $C$ в этом перемещении. - В некотором перемещении треугольник
$ACE$ отобразился на треугольник$KLM$. Отметьте все точки, которые могут быть образами точек$A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$. С помощью каких известных вам перемещений треугольник$ACE$ можно отобразить на треугольник$KLM$?
- В некотором перемещении треугольник
Ответы, указания, решения
-
- Красные окружности сдвинуты;
- рука и нога у «человека» повёрнуты не в ту сторону;
- красная окружность должна быть большего радиуса;
- красная линия должна быть симметрично отражена в
$l$ и уменьшена.
- Если
$(AF)\parallel(A'E)$, то$(A'B)\parallel(AB)$ и либо$A=A'\in(MK)$, и тогда решить задачу невозможно (если$B\notin(MK)$), либо$A\ne A'$ и тогда$B\in(AA')$. Во втором случае надо построить сначала образ вспомогательной точки$C$, для которой прямые$AC$, $A'C$ и$BC$ пересекают прямую$MK$ в пределах чертежа. - Решается аналогично задаче 2.
- Указание. Оси симметрии принадлежит точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции.
-
- Постройте равносторонний треугольник
$AOA_1$. - Дважды произведите поворот на
$60^\circ$.
- Постройте равносторонний треугольник
- Указание. Произвести три поворота на
$60^\circ$ с центром$O$. - Дважды воспользуйтесь предыдущей задачей.
-
$A\to D$, $B\to F$, $C\to E$. - С помощью осевой и центральной симметрий.