Задачник «Кванта» / Квант. — 1977. — № 10 / 1977 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Задачи М466‍—‍М470; Ф478‍—‍Ф482 Задачи М466—М470; Ф478—Ф482 // Квант. — 1977. — № 10. — С. 40—41.

Задача М466
Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждая фальшивая монета отличается от настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Как это…
Задача М467
Точки $D$‍‍ и $E$‍‍ делят стороны $AC$‍‍ и $AB$‍‍ правильного треугольника $ABC$‍‍ в отношениях $|AD|:|DC|=|BE|:|EA|=1:2$‍.‍ Прямые $BD$‍‍ и $CE$‍‍ пересекаются в точке $O$‍.‍ Докажите, что угол…
Задача М468
Точки $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍‍ и $D$‍‍ плоскости таковы, что для любой точки $M$‍‍ этой плоскости скалярные произведения векторов $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$‍‍ и $\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}$‍‍ не равны друг другу. Докажите, что $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$‍.‍ Верно ли…
Задача М469
1. Уравнение $x^4+ax^3+bx+c=0$‍‍ имеет четыре различных вещественных корня. Докажите, что $ab\lt0$‍.‍
2. Уравнение $x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{k-1}x^{n-k+1}+a_{k+1}x^{n-k-1}+\ldots+a_n=0$‍‍ имеет $n$‍‍ различных вещественных корней. Докажите, что…
Задача М470
Докажите равенства
1. $$\dfrac{1}{C_n^0}-\dfrac{1}{C_n^1}+\dfrac{1}{C_n^2}-\ldots+\dfrac{(-1)^k}{C_n^k}+\ldots+\dfrac{(-1)^n}{C_n^n}=\dfrac{(n+1)(1+(-1)^n)}{n+2};$$
2. $$\dfrac{1}{C_n^1}+\dfrac{1}{C_n^2}+\dfrac{1}{C_n^3}+\ldots+\dfrac{1}{C_n^n}=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\left(\dfrac{2}{1}+\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{2^3}{3}+\ldots+\dfrac{2^n}{n}\right).$$
Задача Ф478
Текст задачи готовится
Задача Ф479
Текст задачи готовится
Задача Ф480
Корабль приводится в движение водомётным двигателем, выбрасывающим с кормы струю воды со скоростью $\overrightarrow{u}$‍.‍ Ежесекундно выбрасывается масса воды $\mu$‍,‍ которая берётся из реки. При каком значении скорости корабля к. п. д. двигателя максимален? Силой трения и сопротивлением…
Задача Ф481
Текст задачи готовится
Задача Ф482
Текст задачи готовится

Решения задач М426‍—‍М430; Ф438‍—‍Ф441 Решения задач М426—М430; Ф438—Ф441 // Квант. — 1977. — № 10. — С. 42—47.

Задача М426
Таблица из $n\times n$‍‍ клеток заполнена числами от 1 до $n$‍‍ так, как показано на рисунке. При каком $n$‍‍ в ней можно выбрать $n$‍‍ клеток так, чтобы никакие две клетки не принадлежали одной строке или одному столбцу и чтобы все числа в выбранных…
Задача М427
1. Докажите, что существует нечётное число $n$‍,‍ для которого ни при каком чётном $k$‍‍ ни одно из чисел бесконечной последовательности $$ k^k+1,\ k^{k^k}+1,\ k^{k^{k^k}}+1,\ \ldots $$ не делится на $n$‍.‍
2. Докажите, что для каждого натурального…
Задача М428
В олимпиаде участвуют $(m-1)n+1$‍‍ человек. Докажите, что среди них либо найдутся $m$‍‍ участников, попарно незнакомых между собой, либо найдётся один участник, знакомый не менее чем с $n$‍‍ участниками олимпиады. Останется ли верным утверждение задачи, если число…
Задача М429
1. Сколько решений имеет уравнение $$ [x]-1977\{x\}=1978? $$ (Здесь $[x]$‍‍ — целая часть $x$‍,‍ а $\{x\}=x-[x]$‍.)‍
2. Докажите, что при любых $p\ne 0$‍‍ и $q$‍‍ уравнение $$ [x]+p\{x\}=q $$ имеет $[|p|]$‍‍…
Задача М430
1. Докажите, что любую выпуклую плоскую фигуру площади $S$‍‍ можно поместить в прямоугольник площади $2S$‍.‍
2. Докажите, что любое выпуклое тело объёма $V$‍‍ можно поместить в ящик,…
Задача Ф438
Текст задачи готовится
Задача Ф439
Текст задачи готовится
Задача Ф440
Текст задачи готовится
Задача Ф441
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 10. — С. 40—47.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1977
Номер: 10
Страницы: 40—47
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 10. — С. 40‍—‍47.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1977/10/zadachnik_kvanta-172e842e/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1977, № 10)Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 10. — С. 40‍—‍47.‍‍

Изображения страниц

Задачи М466‍—‍М470; Ф478‍—‍Ф482 Задачи М466—М470; Ф478—Ф482 // Квант. — 1977. — № 10. — С. 40—41.

Решения задач М426‍—‍М430; Ф438‍—‍Ф441 Решения задач М426—М430; Ф438—Ф441 // Квант. — 1977. — № 10. — С. 42—47.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1977. — № 10. — С. 40—47.